Question

20．如圖所示，天花板上有固定轉(zhuǎn)軸O，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿一端可繞轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端固定一質(zhì)量為M的小球．一根不可伸長(zhǎng)的足夠長(zhǎng)輕繩繞過定滑輪A，一端與小球相連，另一端掛著質(zhì)量為m₁的鉤碼，定滑輪A的位置可以沿OA連線方向調(diào)整．小球、鉤碼均可看作質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)一切摩擦，g取10m/s²．
（1）若將OA間距調(diào)整為$\sqrt{3}$L，則當(dāng)輕桿與水平方向夾角為30°時(shí)小球恰能保持靜止?fàn)顟B(tài)，求小球的質(zhì)量M與鉤碼的質(zhì)量m₁之比；
（2）若在輕繩下端改掛質(zhì)量為m₂的鉤碼，且M：m₂=4：1，并將OA間距調(diào)整為$\frac{4}{3}$L，然后將輕桿從水平位置由靜止開始釋放，求小球與鉤碼速度大小相等時(shí)輕桿與水平方向的夾角θ；
（3）在（2）的情況下，測(cè)得桿長(zhǎng)L=2.175m，仍將輕桿從水平位置由靜止開始釋放，當(dāng)輕桿轉(zhuǎn)至豎直位置時(shí)，小球突然與桿和繩脫離連接而向左水平飛出，求當(dāng)鉤碼上升到最高點(diǎn)時(shí)，小球與O點(diǎn)的水平距離．

Answer 1

分析 （1）先據(jù)幾何關(guān)系找出角度關(guān)系，據(jù)平衡態(tài)列方程求解；（2）利用圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，找出二者速度相等的條件即可求解；（3）據(jù)機(jī)械能守恒和運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出速度，再求出時(shí)間，據(jù)此求出距離．

解答 解：（1）依題意，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，∠AOM=30°，由幾何關(guān)系知，此時(shí)∠OAM=30°．
分析小球受力，設(shè)輕桿對(duì)其彈力大小為F，方向沿桿向上，輕繩對(duì)其彈力大小為T，則
Fcos30°=Tcos30°
Fsin30°+Tsin30°=Mg
解得：M=m₁，即M：m₁=1：1．
（2）小球繞O點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，其速度方向始終沿垂直于輕桿方向，只有當(dāng)輕繩也與輕桿垂直時(shí)，小球與鉤碼的速度相等，此時(shí)：$cosθ=\frac{L}{\frac{4}{3}L}=\frac{3}{4}$，
θ=arccos$\frac{3}{4}$≈41.4°
（3）小球與鉤碼構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：
MgL-mg[$\sqrt{{L}^{2}+（\frac{4L}{3}）^{2}}\\;\\;-（\frac{4}{3}L-L）$-（$\frac{4L}{3}-L$）]=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
又M：m₂=4：1
設(shè)此時(shí)輕繩與水平方向夾角為α，則$tanα=\frac{L}{\frac{4L}{3}}=\frac{3}{4}$，所以α=37°．
v₁cosα=v₂
解得：v₁=5m/s/，v₂=4m/s．
鉤碼做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，上升到最高點(diǎn)的時(shí)間為：t=$\frac{{v}_{2}}{g}=\frac{4}{10}s$=0.4s
小球離開桿后做平拋運(yùn)動(dòng)，此時(shí)它與O點(diǎn)的水平距離為：
s=v₁t=5×0.4m=2m．
答：1）若將OA間距調(diào)整為$\sqrt{3}$L，則當(dāng)輕桿與水平方向夾角為30°時(shí)小球恰能保持靜止?fàn)顟B(tài)，求小球的質(zhì)量M與鉤碼的質(zhì)量m₁之比1：1．
（2）若在輕繩下端改掛質(zhì)量為m₂的鉤碼，且M：m₂=4：1，并將OA間距調(diào)整為$\frac{4}{3}$L，然后將輕桿從水平位置由靜止開始釋放，求小球與鉤碼速度大小相等時(shí)輕桿與水平方向的夾角為41.4°；
（3）在（2）的情況下，測(cè)得桿長(zhǎng)L=2.175m，仍將輕桿從水平位置由靜止開始釋放，當(dāng)輕桿轉(zhuǎn)至豎直位置時(shí)，小球突然與桿和繩脫離連接而向左水平飛出，求當(dāng)鉤碼上升到最高點(diǎn)時(shí)，小球與O點(diǎn)的水平距離2m．

點(diǎn)評(píng) 本題難度較大，分清楚物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況 是解題的 關(guān)鍵；靈活應(yīng)用和運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系、機(jī)械能守恒和運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出速度，再求出時(shí)間，據(jù)此求出距離是解題的核心．