Question

5．地球半徑R，在距球心r處有一同步衛(wèi)星（r＞R），另有一半徑為2R的星球A，在距離其球心3r處也有一同步衛(wèi)星，它的周期是48h，那么星球A平均密度與地球平均密度的比值為多少？

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，求出天體的質量，再求出密度，看與什么因素有關．從而得出密度之比．

解答 解：根據(jù)萬有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
天體的質量：$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，
體積為：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，
密度為：$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，
因為地球的同步衛(wèi)星和星球A的同步衛(wèi)星的軌道半徑比為1：3，地球和星球A的半徑比為1：2，兩同步衛(wèi)星的周期比1：2．所以A星球平均密度與地球平均密度的比值為：
$\frac{{ρ}_{2}}{{ρ}_{1}}=\frac{（3r）^{3}}{{r}^{3}}×\frac{{R}^{3}}{（2R）^{3}}×\frac{2{4}^{2}}{4{8}^{2}}$=$\frac{27}{32}$．
答：星球A平均密度與地球平均密度的比值為27：32．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運用，結合天體體積求出密度的表達式是關鍵．