Question

9．地球可視為球體，其自轉(zhuǎn)周期為T，在它的兩極處，用彈簧稱測得一物體重為P；在赤道上測得同一物體重為0.9P，則地球的平均密度是多少？（G為常數(shù)，但不必代入具體數(shù)值）

Answer 1

分析 在兩極萬有引力等于重力，在赤道，萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力提供向心力，根據(jù)該規(guī)律求出地球的質(zhì)量，從而求出地球的密度．

解答 解：設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R，由于兩極處物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，即：
P=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$   ①
在赤道上，地球?qū)ξ矬w的萬有引力和彈簧秤對物體的拉力的合力提供向心力，則有：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-0.9P=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$ ②
聯(lián)立①②解得：
M=$\frac{4{π}^{2}P{R}^{3}}{G（P-0.9P）{T}^{2}}$
地球平均密度：
ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}P{R}^{3}}{G（P-0.9P）{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{30π}{G{T}^{2}}$．
答：地球的平均密度為$\frac{30π}{G{T}^{2}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道在地球的赤道和兩極，重力與萬有引力大小的關(guān)系，并能靈活運(yùn)用．