Question

如圖，xOy平面內(nèi)存在著沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一個(gè)質(zhì)量為m，帶電荷量為+q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v₀沿x軸正方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．當(dāng)它經(jīng)過(guò)圖中虛線上的M（2

3

a，a）點(diǎn)時(shí)，撤去電場(chǎng)，粒子繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后進(jìn)入一個(gè)矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫(huà)出），又從虛線上的某一位置N處y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)并再次經(jīng)過(guò)M點(diǎn)．已知磁場(chǎng)方向垂直xOy平面（紙面）向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，不計(jì)粒子的重力．試求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小；
（2）N點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）矩形磁場(chǎng)的最小面積．

Answer 1

如圖是粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程示意圖．
（1）粒子從O到M做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，則有
2

3

a=v0t                   
a=

1

2

×

qE

m

t2                  
得E=

mv02

6qa

                    
電場(chǎng)強(qiáng)度大小為：E=

mv2

6qa

（2）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)速度為v，與x方向的夾角為α，則：vy=

qE

m

t=

3

3

v0            
v=

v 20 + v 2y

=

2 3

3

v0          
tanα=

vy

v0

=

3

3

，即α=300，
由題意知，粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，粒子在
磁場(chǎng)中以O(shè)′點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為R，
則：qBv=m

v2

R

，
代入數(shù)據(jù)得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：
R=

mv

qB

=

2 3 mv0

3qB

             
由幾何關(guān)系知：β=

1

2

∠PMN=300   
所以N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yN=

R

tanβ

+a=

2mv0

qB

+a  
橫坐標(biāo)為xN=2

3

a                        
故N點(diǎn)的坐標(biāo)為（2

3

a，

2πv0

qB

+a）
（3）當(dāng)矩形磁場(chǎng)為圖示虛線矩形時(shí)的面積最�。畡t矩形的兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為
L1=2R=

4 3 mv0

3qB

                     
L2=R+Rsinβ=

3 mv0

qB

               
所以矩形磁場(chǎng)的最小面積為：Smin=L1×L2=

4m2 v 20

q2B2

   
矩形磁場(chǎng)最小面積為Smin=

4m2 v 20

q2B2