Question

4．如圖所示，M、N為兩塊帶等量異種電荷的平行金屬板，兩板間電壓可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值．靜止的帶電粒子帶電荷量為+q，質(zhì)量為m（不計(jì)重力），從點(diǎn)P經(jīng)電場(chǎng)加速后，從小孔Q進(jìn)入N板右側(cè)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，CD為磁場(chǎng)邊界上的一絕緣板，它與N板的夾角為θ=45°，孔Q到板的下端C的距離L，當(dāng)M、N兩板間電壓取最大值時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上，求：
（1）兩板間電壓的最大值U_m；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t_m
（3）CD板上可能被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度x．

Answer 1

分析 （1）粒子恰好垂直打在CD板上，根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡，可以求得粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，由半徑公式可以求得電壓的大��；
（2）打在QE間的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，為半個(gè)周期，根據(jù)周期公式即可求解．
（3）當(dāng)粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡恰好與CD板相切時(shí)，這是粒子能達(dá)到的最下邊的邊緣，在由幾何關(guān)系可以求得被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）據(jù)題，M、N兩板間電壓取最大值時(shí)，粒子恰垂直打在CD板上，所以其軌跡圓心在C點(diǎn)，CH=QC=L，故軌跡半徑R₁=L
又由牛頓第二定律得 qvB=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
粒子在MN間加速時(shí)，有 qU_m=$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}$
所以聯(lián)立得 U_m=$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2m}$
（2）打在QE間的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，均為半周期．
粒子運(yùn)動(dòng)的周期為 T=$\frac{2πm}{qB}$
所以最長(zhǎng)時(shí)間t_m=$\frac{T}{2}$=$\frac{πm}{qB}$
（3）設(shè)軌跡與CD板相切于K點(diǎn)，半徑為R₂，在△AKC中：
 sin45°=$\frac{{R}_{2}}{L-{R}_{2}}$
可得 R₂=（$\sqrt{2}$-1）L
即KC長(zhǎng)等于 R₂=（$\sqrt{2}$-1）L
所以CD板上可能被粒子打中的區(qū)域即為HK的長(zhǎng)度，x=HK=R₁-R₂=L-（$\sqrt{2}$-1）L=（2-$\sqrt{2}$）L
答：
（1）兩板間電壓的最大值U_m為$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2m}$；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t_m為$\frac{πm}{qB}$．
（3）CD板上可能被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度x為（2-$\sqrt{2}$）L；

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，由幾何關(guān)系求軌跡半徑和圓心角是關(guān)鍵，要掌握住半徑公式、周期公式．