Question

12．我國(guó)的月球探測(cè)計(jì)劃“嫦娥工程”分為“繞、落、回”三步．“嫦娥三號(hào)”的任務(wù)是“落”． 2013年12月2日，“嫦娥三號(hào)”發(fā)射，經(jīng)過(guò)中途軌道修正和近月制動(dòng)之后，“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器進(jìn)入繞月的圓形軌道I．12月12日衛(wèi)星成功變軌，進(jìn)入遠(yuǎn)月點(diǎn)P、近月點(diǎn)Q的橢圓形軌道II．如圖所示．2013年12月14日，“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器在Q點(diǎn)附近制動(dòng)，由大功率發(fā)動(dòng)機(jī)減速，以拋物線路徑下降到距月面100米高處進(jìn)行30s懸停避障，之后再緩慢豎直下降到距月面高度僅為數(shù)米處，為避免激起更多月塵，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，做自由落體運(yùn)動(dòng)，落到月球表面．
（1）關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)距月球表面的高度為h測(cè)得自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t求月球表面的重力加速度．
（2）要實(shí)現(xiàn)“嫦娥三號(hào)”返回地球的目的需知道月球的第一宇宙速度．如果月球半徑為R請(qǐng)計(jì)算月球表面第一宇宙速度．
（3）在軌道I繞月做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)用激光測(cè)距儀測(cè)得軌道I距月球表面的高為H，已知月球的半徑為R，計(jì)算“嫦娥三號(hào)”在軌道I勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的位移公式$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$列式求解重力加速度g；
（2）第一宇宙速度為近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，根據(jù)重力等于向心力列式求解第一宇宙速度；
（3）衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的位移公式$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，有：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）月球表面衛(wèi)星的重力等于萬(wàn)有引力，故：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$；
解得：v₁=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
（3）高為H的衛(wèi)星，軌道半徑為R+H，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+H）}^2}}}=m{（\frac{2π}{T}）^2}（R+H）$；
在月球表面，重力等于萬(wàn)有引力，故：
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
由第一問(wèn)解得：
g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$
聯(lián)立解得：
T=2π$\sqrt{\frac{（R+H）^{3}{t}^{2}}{2h{R}^{2}}}$
答：（1）月球表面的重力加速度為$\frac{2h}{{t}^{2}}$．
（2）月球表面第一宇宙速度為$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$．
（3）“嫦娥三號(hào)”在軌道I勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期為2π$\sqrt{\frac{（R+H）^{3}{t}^{2}}{2h{R}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是通過(guò)自由落體運(yùn)動(dòng)測(cè)量月球表面的重力加速度，然后根據(jù)月球的衛(wèi)星的萬(wàn)有引力等于向心力列式分析，不難．