Question

14．如圖所示，豎直放置的光滑圓軌道半徑為R，A、B為圓軌道內表面的最低點和最高點，在A、B兩位置裝有壓力傳感器，可以測量小球經過該位置時對軌道的壓力F．一質量為m的小球置于軌道最低點A處，現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v，使其沿圓軌道運動；改變小球的初速度v的大小，測量小球在A、B位置對軌道壓力F_A、F_B（小球第1次經過A、B時）的大小，根據測量數(shù)據描繪出相應的F-v²圖象為相互平行的直線，如圖所示．重力加速度為g，求：

（1）圖象中v₀；
（2）圖象中F₀；
（3）若圓軌道不光滑，假設小球運動到環(huán)的各處時摩擦力大小與速度無關，圖中的F₀=7mg，改變v的大小，當小球某次經過A時F=9mg，求小球到達B處的速度為多大．

Answer 1

分析 （1）通過v₀，F(xiàn)₀，對小球在B點應用牛頓第二定律，對A到B的過程應用動能定理即可求解；
（2）對小球在A點應用牛頓第二定律即可求解；
（3）通過牛頓第二定律求得在A、B的速度，然后應用動能定理求得摩擦力做的功；再應用牛頓第二定律求得在A處的速度，然后利用動能定理即可求得在B處的速度．

解答 解：（1）當v=v₀時，小球剛好可以到達B點，且在B點的合外力為重力，那么，對小球在B點應用牛頓第二定律，有：$mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$；
對小球從A到B應用動能定理得：$-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}mgR-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，所以，${v}_{0}=\sqrt{5gR}$；
（2）對小球在A點應用牛頓第二定律，有：${F}_{0}=mg+\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}=6mg$；
（3）小球運動到環(huán)的各處時摩擦力大小與速度無關，那么摩擦力只和位置有關，所以，經過相同位置，摩擦力做功相同；
對小球在A點應用牛頓第二定律，當F₀=7mg時有$6mg=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$；
且小球剛好到達B點，對小球在B點應用牛頓第二定律，有：$mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$；
對小球從A到B的運動過程應用動能定理可得：$-2mgR+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-\frac{5}{2}mgR$，所以，${W}_{f}=-\frac{1}{2}mgR$；
當F=9mg時，在A點有：$9mg-mg=8mg=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{R}$；
那么，由動能定理可得：$-2mgR+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，所以，$\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}=\frac{3}{2}mgR$，所以，${v}_{B}′=\sqrt{3gR}$；
答：（1）圖象中v₀為$\sqrt{5gR}$；
（2）圖象中F₀為6mg；
（3）若圓軌道不光滑，假設小球運動到環(huán)的各處時摩擦力大小與速度無關，圖中的F₀=7mg，改變v的大小，當小球某次經過A時F=9mg，小球到達B處的速度為$\sqrt{3gR}$．

點評 經典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．