Question

8．如圖所示，墻角固定著一根輕質(zhì)彈簧，質(zhì)量為M、半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧形滑槽靜止在光滑水平面上，滑槽底端與水平面相切．一小球（可視為質(zhì)點）從圓弧形滑槽的頂端由靜止釋放，已知小球質(zhì)量為m，M=3m．求：
（1）彈簧的最大彈性勢能E_pm
（2）小球能沖上滑槽的最大高度．

Answer 1

分析 （1）小球下滑過程，小球與弧形槽組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，應(yīng)用動量守恒定律與機(jī)械能守恒定律求出小球滑到滑槽底端時小球與弧形槽的速度，小球壓縮彈簧的過程中，小球和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，當(dāng)小球速度減為0時，彈簧的彈性勢能最大，由機(jī)械能守恒定律求彈簧的最大彈性勢能E_pm．
（2）小球被彈簧彈開后，小球追上并沖上滑槽，當(dāng)小球達(dá)到最大高度h時，兩者速度相等，然后應(yīng)用動量守恒定律與機(jī)械能守恒定律求出最大高度．

解答 解：（1）以水平向左為正．在小球下滑過程中，以M和m構(gòu)成的系統(tǒng)在水平方向上動量守恒．
設(shè)M和m分離時的速度大小分別為v₁、v₂
則有　0=Mv₁-mv₂　　　　　　           　�、�
此過程中M和m構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有
   mgR=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²　　　          ②
又　　M=3m　              　�、�
聯(lián)解①、②、③得：v₁=$\sqrt{\frac{gR}{6}}$　④
v₂=$\sqrt{\frac{3gR}{2}}$　     �、�
小球壓縮彈簧的過程中，小球和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，當(dāng)小球速度減為0時，彈簧的彈性勢能最大，最大為：
 E_pm=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{3}{4}$mgR　　　　　　　　�、�
（2）小球被彈簧彈開后，速度大小仍為v₂，方向向左，小球追上并沖上滑槽，當(dāng)小球達(dá)到最大高度h時，兩者速度相等，設(shè)為v，此過程中M和m構(gòu)成的系統(tǒng)在水平方向上動量守恒得
   Mv₁+mv₂=（m+M）v　　　　　　　　　 ⑦
此過程中M和m構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有
  $\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$（m+M）v²+mgh　　　⑧
聯(lián)解得：h=$\frac{1}{4}$R　　　　　　　　　　�、�
答：
（1）彈簧的最大彈性勢能E_pm是$\frac{3}{4}$mgR．　　
（2）小球能沖上滑槽的最大高度是$\frac{1}{4}$R．

點評 本題考查了動量守恒定律與機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，分析清楚物體運動過程，要注意圓弧槽不是固定的，應(yīng)用動量守恒定律與機(jī)械能守恒定律即可正確解題．