Question

6．如圖甲所示，質(zhì)量為M=0.5kg，長度為l=1m的木板靜止在光滑水平面上，質(zhì)量為m=1kg的物塊以初速度v₀=4m/s滑上木板的左端，物塊與木塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，在物塊滑上木板的同時(shí)，給木板施加一個(gè)水平向右的恒力F．將物塊視為質(zhì)點(diǎn)，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度g=10m/s²
（1）若恒力F=0，通過計(jì)算判斷物塊是否會(huì)從木板右端滑下；
（2）當(dāng)恒力F為多大時(shí)，物塊恰好滑至木板右端時(shí)也恰好與木板共速；
（3）當(dāng)恒力F取某一值時(shí)，物塊在木板上相對(duì)于木板滑動(dòng)的路程為s，給木板施加不同大小的恒力F，得到 $\frac{1}{s}$-F的關(guān)系如圖乙所示，其中AB與橫軸平行，BC為直線段，求BC段恒力F的取值范圍及$\frac{1}{s}$-F函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）若恒力F=0，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求出m與M共速時(shí)m相對(duì)M滑行的距離，即可作出判斷；
（2）根據(jù)牛頓第二定律得到兩個(gè)物體的加速度，物塊恰好滑至木板右端時(shí)m與M的位移之差等于木板的長度l，結(jié)合位移關(guān)系和速度關(guān)系列式，即可求解．
（3）由圖象可看出當(dāng)F小于某一值F₁時(shí)，m物體在板上的路程始終等于板長S，當(dāng)F等于某一值F₁時(shí)，剛好不從木板右端掉下，此后一起相對(duì)靜止并加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式，抓住位移之間的關(guān)系列式，聯(lián)立方程求出B在A上相對(duì)A向右運(yùn)動(dòng)的路程S與F、v₀的關(guān)系式，把S=1m帶入即可求解F₁；
當(dāng)F₁≤F≤F₂時(shí)，隨著F力增大，S減小，當(dāng)F=F₂時(shí)，出現(xiàn)S突變，說明此時(shí)物塊、木板在達(dá)到共同速度后，恰好再次發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，物塊將會(huì)從木板左端掉下．
對(duì)二者恰好發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，木板的加速度為a₂，則整體加速度也為a₂，由牛頓第二定律列式即可求解關(guān)系式，將F=2N代入求解相對(duì)位移，根據(jù)能量關(guān)系求解產(chǎn)生的熱．由此求得該段恒力F的取值范圍及$\frac{1}{s}$-F函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）若恒力F=0時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，取向右為正方向，假設(shè)m與M共速時(shí)，由動(dòng)量守恒定律有：
mv₀=（M+m）v
由功能關(guān)系有：
μmgs=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$（M+m）v²．
聯(lián)立計(jì)算可得：
s=$\frac{4}{3}$m＞l=1m
所以物塊會(huì)從木板右端滑下．
（2）物塊恰好到達(dá)木板右端，且 兩者具有共同速度v，歷時(shí)t₁．根據(jù)牛頓第二定律
木板的加速度大小為：a_M=$\frac{F+μmg}{M}$
物塊的加速度大小為：a_m=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²．
據(jù)題有 v=v₀-a_mt₁=a_Mt₁．
  l=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$-$\frac{v}{2}{t}_{1}$=$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}$
聯(lián)立解得 a_M=2m/s²，F(xiàn)=1N
（3）由圖乙知，圖中B點(diǎn)即為物塊恰好滑至木板右端時(shí)也與木板共速的狀態(tài)，此時(shí) F=1N
當(dāng)F繼續(xù)增大時(shí)，物塊減速、木板加速，兩者在木板上某一位置具有共同速度；
木板的加速度大小為 a_M=$\frac{F+μmg}{M}$
物塊的加速度大小為 a_m=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²．
據(jù)題有 v=v₀-a_mt=a_Mt．
  s=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t$-$\frac{v}{2}t$=$\frac{{v}_{0}}{2}t$
聯(lián)立解得 $\frac{1}{s}$=$\frac{F+3}{4}$
當(dāng)兩者共速后能保持相對(duì)靜止（靜摩擦力作用）一起以相同加速度a做勻加速運(yùn)動(dòng)，該狀態(tài)均滿足上述方程，直到共速后再次相對(duì)滑動(dòng)為止，此時(shí)有：
   a=$\frac{F}{M+m}$
 f=ma
由于靜摩擦力存在最大值，所以：f≤f_max=μmg=2N
聯(lián)立解得：F≤3N
綜述：BC段恒力F的取值范圍是1N≤F≤3N，函數(shù)關(guān)系式是 $\frac{1}{s}$=$\frac{F+3}{4}$．
答：（1）物塊會(huì)從木板右端滑下；
（2）當(dāng)恒力F為1N時(shí)，物塊恰好滑至木板右端時(shí)也恰好與木板共速．
（3）BC段恒力F的取值范圍是1N≤F≤3N，函數(shù)關(guān)系式是 $\frac{1}{s}$=$\frac{F+3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的應(yīng)用．滑塊問題是物理模型中非常重要的模型，是學(xué)生物理建模能力培養(yǎng)的典型模型．滑塊問題的解決非常靈活，針對(duì)受力分析、運(yùn)動(dòng)分析以及牛頓第二定律的掌握，還有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的分析，特別是摩擦力的變化與轉(zhuǎn)型，都是難點(diǎn)所在．本題通過非常規(guī)的圖象來分析滑塊的運(yùn)動(dòng)，能從圖中讀懂物體的運(yùn)動(dòng)．