Question

18．如圖所示是一個利用傳輸帶輸送貨物的模型裝置示意圖，物塊（可視為質(zhì)點）先后在傾斜和水平的傳輸帶運動，兩傳輸帶運動方向相互垂直．已知傾斜傳輸帶與水平方向的夾角為θ=37°，以恒定速度v₁=1m/s向下運動，物塊與傾斜的傳輸帶間的滑動摩擦因數(shù)μ₁=0.25，物塊從距離底端L=$\frac{31}{16}$m處由靜止釋放并沿軸線方向下滑，滑過傳輸帶交界處時可認(rèn)為其速度的大小不變．水平傳輸帶寬為d=2m，運動速度恒為v₂=3m/s，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）求物塊下滑到與傾斜傳輸帶速度相同時所需的時間；
（2）求物塊運動到傾斜傳輸帶底端時的速度大小；
（3）為使物塊滑到水平傳輸帶上后不會從水平傳輸帶邊緣脫離，則物塊與水平傳輸帶之間的滑動摩擦系數(shù)μ₂至少為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求得加速度，有速度時間公式求得時間；
（2）達(dá)到共同速度后，物塊繼續(xù)向下做加速運動，根據(jù)位移時間公式和速度時間公式即可求得；
（3）計算出物體滑上傳輸帶時的速度，根據(jù)速度合成求了物塊相對于傳輸帶的速度，根據(jù)速度的合成求出合速度并根據(jù)所受摩擦力求出物體速度與傳輸帶相同的時相對傳輸帶的位移，根據(jù)位移的方向和傳輸帶的寬度求出動摩擦力的最小值，從而得出動摩擦因數(shù)

解答 解：（1）對物塊當(dāng)速度達(dá)到v₁=1m/s之前在傾斜傳輸帶上受力如圖（a）所示，設(shè)此過程中物塊沿傾斜傳輸帶軸線方向的加速度為a₁，由牛頓第二定律：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₁                       
代入數(shù)據(jù)解得：${a}_{1}=8m/{s}^{2}$                                     
設(shè)物塊下滑到與傾斜傳輸帶速度相同時所需的時間為t₁，有：${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{1}{8}s=0.125s$
（2）對物塊，設(shè)當(dāng)速度達(dá)到v₁=1m/s之前發(fā)生的位移為s₁，則有：${s}_{1}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{1}{16}m$
當(dāng)物塊速度達(dá)到v₁=1m/s之后，受力分析如圖（b）所示，物塊將繼續(xù)做勻加速直線運動，設(shè)此過程中物塊沿傾斜傳輸帶軸線方向的加速度為a₂
則：mgsinθ-μmgcosθ=ma₂                      
代入數(shù)據(jù)解得：${a}_{2}=4m/{s}^{2}$                        
從物塊速度v₁=1m/s到滑動斜面底端的發(fā)生的位移為s₂，速度為v，
s₁+s₂=L
${v}^{2}{-v}_{1}^{2}=2a{s}_{2}$   
聯(lián)立解得：v=4m/s
（3）當(dāng)物塊滑上水平傳輸帶上后，速度大小為v=4m/s，方向與水平傳輸帶運動方向垂直，如圖（c）所示，以水平傳輸帶為參照系，物塊滑動水平傳輸帶的初速度大小為v′，
$v′=\sqrt{{v}_{2}^{2}+{v}^{2}}=5m/s$                
相對傳輸帶運動方向與傳輸帶中心軸線的夾角為a，則$sinα=\frac{v}{v′}=\frac{4}{5}$
物塊在水平傳輸帶上水平方向只受滑動摩擦力，滑動摩擦力即是合力，由于滑動摩擦力與5m/s的相對運動初速度方向相反，所以物塊相對傳輸帶做勻減速直線運動  …
加速度大小為a′，由牛頓第二定律得：$a′=\frac{{μ}_{2}mg}{m}={μ}_{2}g$
當(dāng)物塊與傳輸帶相對靜止時，在傳輸帶上運動的距離s′，由運動學(xué)公式${v}_{t}^{2}{-v}_{0}^{2}=2as$得：$s′=\frac{v{′}^{2}}{2a′}$     
物塊不會從傳輸帶邊緣脫離時應(yīng)滿足：s′sinα≤d       
${μ}_{2}≥\frac{v{′}^{2}sinα}{2gd}$代入數(shù)值得：μ₂≥0.5
答：（1）物塊下滑到與傾斜傳輸帶速度相同時所需的時間為0.125s；
（2）物塊運動到傾斜傳輸帶底端時的速度大小為4m/s；
（3）為使物塊滑到水平傳輸帶上后不會從水平傳輸帶邊緣脫離，則物塊與水平傳輸帶之間的滑動摩擦系數(shù)μ₂至少為0.5

點評 本題是一道力學(xué)綜合題，難度較大，關(guān)鍵是能根據(jù)動力學(xué)計算求出滿足物體運動條件的受力情況從而得出動摩擦因數(shù)．