Question

帶電粒子在AB兩極板間靠近A板中央附近S處?kù)o止釋放，在兩極板電壓中加速，從小孔P平行CD極板方向的速度從CD極板中央垂直進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，B板靠近CD板的上邊緣如圖甲．在CD兩板間加如圖乙所示的交變電壓，設(shè)t₁=0時(shí)刻粒子剛好進(jìn)入CD極板，t₂=t₀時(shí)刻粒子恰好從D板的下邊緣飛入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的上邊界與CD極板的下邊緣在同一水平線上，磁場(chǎng)范圍足夠大，加速電場(chǎng)AB間的距離，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)CD間的距離及CD極板長(zhǎng)均為d，圖象乙中t₀和U₀都為已知，帶電粒子重力不計(jì)，不考慮電場(chǎng)和磁場(chǎng)邊界影響．求：

（1）加速電壓U=？U₀=？
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度？
（3）若帶電粒子在t₃時(shí)刻剛好從C極板的下邊緣進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，并剛能返回到初始位置S處，t₃=？，t₀=？
（4）帶電粒子全程運(yùn)動(dòng)的周期T=？

Answer 1

分析：（1）粒子加速后進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，恰好從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)下極板邊緣射出，由幾何關(guān)系得到速度與加速階段的速度關(guān)系，在加速電場(chǎng)和偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中分別應(yīng)用動(dòng)能定理可得加速電場(chǎng)的電壓值
（2）由于粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，平行于極板方向?yàn)閯蛩僦本�運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解的知識(shí)可得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度
（3）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小和方向由（2）可知，故可得在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可得返回到初始位置的時(shí)間
（4）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，結(jié)合（3）的答案可求運(yùn)動(dòng)全程的時(shí)間

解答：解：（1）設(shè)帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度為v₀，從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中射出的速度為v，t₁=0時(shí)刻粒子剛好進(jìn)入CD極板，t₂=t₀時(shí)刻粒子恰好從D板的下邊緣飛入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，
即由幾何關(guān)系可知：
v=

2

v0①
在加速電場(chǎng)中，有動(dòng)能定理得：
qU=

1

2

mv

2 0

②
在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中，有

1

2

qU₀=

1

2

mv2-

1

2

mv

2 0

③
所以，U=

1

2

U₀                                                                   
（2）由于粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為：
v=

2

v0=

2 d

t0

④
速度方向和磁場(chǎng)邊界成45°角．

（3）帶電粒子在磁場(chǎng)中，洛倫茲力提供向心力，故：
qvB=

mv2

R

⑤
而，T=

2πR

v

⑥
且在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=

3T

4

⑦
由幾何關(guān)系得：R=

2

2

d⑧
由題意得：t=t₃-t₀⑨
由④⑤⑥⑦⑧⑨得，t₃=（1+

3π

4

）t₀
（4）帶電粒子全程運(yùn)動(dòng)的周期為：T_總=2（

2d

v0

）+2×

d

v0

+

3T

4

=6t0+

3π

4

t₀
答：（1）加速電壓U=

1

2

U₀
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度

2 d

t0

，速度方向和磁場(chǎng)邊界成45°角
（3）若帶電粒子在t₃時(shí)刻剛好從C極板的下邊緣進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，并剛能返回到初始位置S處，t₃=（1+

3π

4

）t₀
（4）運(yùn)動(dòng)全程的時(shí)間6t₀+

3π

4

t₀

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵是挖掘“恰好從D板的下邊緣飛入勻強(qiáng)磁場(chǎng)”的隱含條件，建立清晰的運(yùn)動(dòng)情境，此外對(duì)運(yùn)算能力要求較高