Question

8．地球的重力加速度為g，半徑為R，萬(wàn)有引力恒量為G，發(fā)射一顆繞地球表面附近做圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，衛(wèi)星的速度稱為第一宇宙速度．
（1）試推導(dǎo)由上述各量表達(dá)的第一宇宙速度的計(jì)算式，要求寫出推導(dǎo)依據(jù)．
（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期T．

Answer 1

分析 （1）繞地球表面附近做圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，可認(rèn)為其軌道半徑是地球的半徑R，萬(wàn)有引力等于重力，可利用萬(wàn)有引力提供它做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)進(jìn)行求解．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力周期公式求解．

解答 解：（1）因?yàn)樾l(wèi)星繞地球表面附近做圓周運(yùn)動(dòng)，所以可認(rèn)為其軌道半徑是地球的半徑R，萬(wàn)有引力等于重力，
由萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得第一宇宙速度：v=$\sqrt{gR}$
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
且$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得：T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{g{R}^{2}}}$
答：（1）第一宇宙速度的計(jì)算式為$\sqrt{gR}$．
（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距離地面高度為h，則衛(wèi)星的運(yùn)行周期T為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{g{R}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是解決這類題目的突破口，找出需要的數(shù)據(jù)列萬(wàn)有引力定律提供向心力公式即可，知道在地球表面萬(wàn)有引力等于重力．