Question

【題目】處于自然狀態(tài)的物體會不斷地向外輻射電磁波，同時也會吸收由其他物體輻射來的電磁波，當(dāng)輻射和吸收達(dá)到平衡時，物體的溫度保持不變。如果某物體能完全吸收入射到其表面的各種波長的電磁波而不發(fā)生反射，這種物體就稱為黑體。黑體也會同時向外輻射電磁波，已知單位時間內(nèi)從黑體表面單位面積輻射出電磁波的能量I與黑體表面熱力學(xué)溫度T的4次方成正比，即I=σT4，其中σ為已知常量。

（1）若將火星看成表面溫度相同的球形黑體，火星的半徑為r，火星中心到太陽中心的距離為L，且L遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于r，所以火星接收到來自太陽的輻射可視為垂直射到面積為πr2的圓面上。已知太陽向外輻射電磁波的總功率為P1�；鹦谴髿鈱訉μ�陽輻射的吸收和反射、太陽輻射在傳播過程中的能量損失，以及其他天體和宇宙空間的輻射均可忽略不計。

① 求在火星表面垂直于太陽和火星連線的單位面積接收到的來自太陽輻射的功率P0；

② 設(shè)火星向四面八方各個方向均勻輻射，請寫出當(dāng)吸收和輻射達(dá)到平衡時火星表面熱力學(xué)溫度T火的表達(dá)式。

（2）太陽輻射電磁波的能量來源于如圖甲所示的太陽中心的“核反應(yīng)區(qū)”�！昂朔磻�(yīng)區(qū)”產(chǎn)生的電磁波在向太陽表面?zhèn)鞑サ倪^程中，會不斷被太陽的其他部分吸收，然后再輻射出頻率更低的電磁波。為了研究“核反應(yīng)區(qū)”的溫度，某同學(xué)建立如下簡化模型：如圖乙所示，將“核反應(yīng)區(qū)”到太陽表面的區(qū)域視為由很多個“薄球殼層”組成，第1“薄球殼層”的外表面為太陽表面；各“薄球殼層”的內(nèi)、外表面都同時分別向相鄰內(nèi)“薄球殼層”和外“薄球殼層”均勻輻射功率相等的電磁波（第1“薄球殼層”的外表面向太空輻射電磁波，最內(nèi)側(cè)的“薄球殼層”的內(nèi)表面向“核反應(yīng)區(qū)”輻射電磁波），如圖丙所示；“核反應(yīng)區(qū)”產(chǎn)生的電磁波的能量依次穿過各“薄球殼層”到達(dá)太陽的表面，每個“薄球殼層”都視為黑體，且輻射和吸收電磁波的能量已達(dá)到平衡，所以各“薄球殼層”的溫度均勻且恒定。

已知太陽表面熱力學(xué)溫度為T1，所構(gòu)想的“薄球殼層”數(shù)目為N，太陽半徑R1與“核反應(yīng)區(qū)”的半徑RN滿足R1=kRN（k為已知的常數(shù)），第1“薄球殼層”的外表面向外輻射電磁波的總功率為P1。請根據(jù)該同學(xué)建立的模型和題目中給出的信息，解答下列問題。

① 求第2、第3和第N“薄球殼層”向相鄰的外“薄球殼層”輻射電磁波的功率P2、P3和PN；

② 若認(rèn)為“核反應(yīng)區(qū)”的溫度和第N“薄球殼層”的溫度TN相等，請推導(dǎo)出“核反應(yīng)區(qū)”熱力學(xué)溫度TN的表達(dá)式。結(jié)合所得到TN的表達(dá)式，請說明該同學(xué)的模型是否合理？若不合理，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）①；②T火=；（2）①2P1，3P1，NP1；②見解析

【解析】

（1）①在以太陽為中心L為半徑的球面上，單位面積接收到的太陽輻射的功率為

這就是在火星表面垂直于太陽和火星連線上單位面積接收到的來自太陽輻射的功率。

②火星接收到的來自太陽的電磁輻射總功率

P火=

火星吸收太陽的電磁波的能量與自身輻射電磁波的能量達(dá)到平衡時有

P火=

根據(jù)題意有

I=σT火4

聯(lián)立以上3式，解得

T火=

（2）①根據(jù)題意，當(dāng)輻射和吸收電磁波的能量達(dá)到平衡時

對于第一層有

P2=2P1

對于第二層有

2P2= P3+P1

所以

P3=3P1

對于第三層有

2P3= P4+P2

所以

P4=4P1

由此可推知

PN=NP1

② 太陽表面單位時間內(nèi)向外輻射的總功率為P1，則在太陽表面

同理，對于第N薄球殼層應(yīng)有

聯(lián)立以上兩式得

這個模型不太合理。薄球殼的層數(shù)沒有確定，而根據(jù)表達(dá)式，分的薄球殼層數(shù)越多，核反應(yīng)層溫度越高，當(dāng)N趨近無窮大時，溫度趨近于無窮高。但實際核反應(yīng)層的溫度應(yīng)該是一個有限值。