Question

9．如圖所示，某衛(wèi)星S繞地球做周期為T的勻速圓周運動，地球相對衛(wèi)星S的張角為θ，地球視為質量分布均勻的球體，其表面重力加速度為g，引力常量為G，下列說法正確的是（　�。�

• A． 衛(wèi)星S的軌道半徑r=$\frac{{T}^{2}gsi{n}^{2}θ}{4{π}^{2}}$
• B． 衛(wèi)星S的速度大小v=$\frac{Tg}{2π}$sin²$\frac{θ}{2}$
• C． 地球的密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}si{n}^{3}\frac{θ}{2}}$
• D． 地球的第一宇宙速度大小為$\frac{Tg}{2π}$sin$\frac{θ}{2}$

Answer 1

分析 根據幾何關系求得衛(wèi)星軌道半徑，根據萬有引力提供圓周運動向心力和萬有引力等于重力求解．

解答 解：A、萬有引力提供向心力：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，又GM=gR²，又有幾何關系r=$\frac{R}{sin\frac{θ}{2}}$，則可得：r=$\frac{{T}^{2}（sin\frac{θ}{2}）^{2}g}{4{π}^{2}}$，則A錯誤
B、由萬有引力提供向心力：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，可得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，又GM=gR及r=$\frac{{T}^{2}（sin\frac{θ}{2}）^{2}g}{4{π}^{2}}$，可得v=$\frac{Tg}{2π}$sin²$\frac{θ}{2}$，則B正確
C、由衛(wèi)星的周期與軌道半徑可得M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，又r=$\frac{R}{sin\frac{θ}{2}}$聯立解得：ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}si{n}^{3}\frac{θ}{2}}$，則C正確
D、地球的第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{grsin\frac{θ}{2}}$=$\frac{Tg}{2π}$sin$\frac{θ}{2}$$\sqrt{sin\frac{θ}{2}}$，則D錯誤
故選：BC

點評 解決本題的關鍵是能根據幾何關系求得衛(wèi)星軌道半徑與地球半徑的大小關系，這是學生容易出錯的主要地方．