Question

7．如圖所示，在xOy坐標(biāo)平面內(nèi)x軸上、下方分布有磁感應(yīng)強(qiáng)度不同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向均垂直紙面向里．一質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子從y軸上的P點(diǎn)以一定的初速度沿y軸正方向射出，粒子經(jīng)過時(shí)間t第一次從x軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入下方磁場(chǎng)，速度方向與x軸正向成45°角，當(dāng)粒子再次回到x軸時(shí)恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．已知OP=L，不計(jì)粒子重力．求：
（1）帶電粒子的初速度大小v₀；
（2）x軸上、下方磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度之比$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過的圓心角，然后根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間求出粒子初速度．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度之比．

解答 解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由幾何知識(shí)可得：r₁=$\sqrt{2}$L，
粒子在x軸上方轉(zhuǎn)過的圓心角：θ=$\frac{5π}{4}$=225°，
粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{θ}{{v}_{0}}$r，
解得：v₀=$\frac{5\sqrt{2}πL}{4t}$；
（2）由幾何知識(shí)得：OQ=r₁+r₁cos45°，
粒子在x軸下方運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OQ，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$；
答：（1）帶電粒子的初速度大小v₀為$\frac{5\sqrt{2}πL}{4t}$；
（2）x軸上、下方磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度之比$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$為$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用牛頓第二定律即可正確解題，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡、主義數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用是正確解題的關(guān)鍵．