Question

如圖所示，M、N、P為很長的平行邊界面，M、N與M、P間距分別為l₁、l₂，其間分別有磁感應強度為B₁和B₂的勻強磁場區(qū)，Ⅰ和Ⅱ磁場方向垂直紙面向里，B₁≠B₂，有一帶正電粒子的電量為q，質量為m，以某一初速度垂直邊界N及磁場方向射入MN間的磁場區(qū)域．不計粒子的重力．求：
（1）要使粒子能穿過Ⅰ磁場進入Ⅱ磁場，粒子的初速度v₀至少應為多少？
（2）若粒子進入磁場的初速度v1=

2qB1l1

m

，則粒子第一次穿過Ⅰ磁場的時間t₁是多少？
（3）粒子初速度v為多少時，才可恰好穿過兩個磁場區(qū)域．

Answer 1

分析：（1）粒子的初速度為v₀時恰好能進入Ⅱ磁場，則進入Ⅱ磁場時速度恰好沿M邊界，根據洛倫茲力提供向心力公式即可求解；
（2）先求出運動的半徑，再求出粒子在Ⅰ磁場中作勻速圓周對應的圓心角為α，結合周期公式即可求解；
（3）設粒子速度為v時，粒子在B₂磁場中的軌跡恰好與P邊界相切，畫出粒子運動的軌跡圖，根據半徑公式結合幾何關系即可求解．

解答：解：（1）粒子的初速度為v₀時恰好能進入Ⅱ磁場，則進入Ⅱ磁場時速度恰好沿M邊界，所以半徑為r=l₁，則
Bqv₀=m

v02

r

解得：
v0=

Bql1

m

（2）粒子在磁場中運動，
Bqv1=m

v12

r1

解得：r₁=2l₁
粒子在Ⅰ磁場中作勻速圓周對應的圓心角為α，
sinα=

l1

r1

=

1

2

所以：α=

π

6

所以第一次穿過Ⅰ磁場的時間為：t1=

θ

2π

T=

1

12

×

2πm

B1q

=

πm

6B1q

（3）設粒子速度為v時，粒子在B₂磁場中的軌跡恰好與P邊界相切，軌跡如圖所示，
由Bqv=m

v 2

R

可得：R1=

mv

B1q

，R2=

mv

B2q

sinθ=

l1

R1

=

qB1l1

mv

粒子在B₂中運動有：R₂-R₂sinθ=l₂
解得：v=

qB1l1+qB2l2

m

答：（1）要使粒子能穿過Ⅰ磁場進入Ⅱ磁場，粒子的初速度v₀至少應為

Bql1

m

；
（2）若粒子進入磁場的初速度v1=

2qB1l1

m

，則粒子第一次穿過Ⅰ磁場的時間t₁是

πm

6B1q

；
（3）粒子初速度v為

qB1l1+qB2l2

m

時，才可恰好穿過兩個磁場區(qū)域．

點評：本題是帶電粒子在磁場中運動的問題，在磁場中做勻速圓周運動，要求同學們能畫出粒子運動的軌跡，結合幾何關系求解，知道半徑公式及周期公式，難度適中．