Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中的第一象限內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于坐標(biāo)平面向內(nèi)的有界圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域（圖中未畫出）；在第二象限內(nèi)存在沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場．一粒子源固定在x軸上坐標(biāo)為（-L，0）的A點(diǎn)．粒子源沿y軸正方向釋放出速度大小為v的電子，電子恰好能通過y軸上坐標(biāo)為（0，2）的C點(diǎn)，電子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后恰好垂直通過第一象限內(nèi)與x軸正方向成15°角的射線ON（已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，不考慮粒子的重力和粒子之間的相互作用）．求：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E的大小；
（2）電子離開電場時的速度方向與y軸正方向的夾角θ；
（3）圓形磁場的最小半徑R_m．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中做類似平拋運(yùn)動，x方向勻速，y方向勻加速，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式列式求解；
（2）先根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式列式求解出x、y方向的分速度，然后根據(jù)幾何關(guān)系列式求解；也可以根據(jù)類似平拋運(yùn)動速度偏轉(zhuǎn)角的正切是位移偏轉(zhuǎn)角正切的2倍直接求解；
（3）先根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解出軌跡的半徑，然后畫出軌跡圖，確定磁場的最小半徑．

解答：解：（1）從A到C的過程中，電子做類平拋運(yùn)動，有：
x方向：L=

1

2

at2=

1

2

?

eE

m

?t2                      
x方向：2L=vt     
聯(lián)立解得：E=

mv2

2eL

          
（2）設(shè)電子到達(dá)C點(diǎn)的速度大小為v_c，方向與y軸正方向的夾角為θ．
由動能定理，有

1

2

m

v

2 C

-

1

2

mv2=eEL
解得vC=

2

v
故cosθ=

v

vC

=

2

2

得θ=45°
（3）畫軌跡如圖所示．
電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑
r=

mvC

eB

=

2 mv

eB

電子在磁場中偏轉(zhuǎn)120°后垂直于ON射出．
磁場最小半徑為：Rm=

PQ

2

=r?sin60°
得：Rm=

6 mv

2eB

答：（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E的大小為

mv2

2eL

；
（2）電子離開電場時的速度方向與y軸正方向的夾角θ為45°；
（3）圓形磁場的最小半徑R_m為

6 mv

2eB

．

點(diǎn)評：本題中粒子先在電場中做類似平拋運(yùn)動，然后進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動，要注意兩個軌跡的連接點(diǎn)，然后根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式和牛頓第二定律以及幾何關(guān)系列式求解，其中畫出軌跡是關(guān)鍵．