Question

2．如圖所示，斜面的傾角為θ，虛線EE′以上部分都是光滑的，以下部分都是粗糙的．長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量分布均勻的薄木板A質(zhì)量為m，與EE′以下部分之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{3}{2}$tanθ．將A從EE′上方斜面的某處?kù)o止釋放，木板能全部滑進(jìn)斜面的粗糙部分．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，木板的長(zhǎng)度始終平行于斜面兩邊沿，重力加速度為g，求：
（1）A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)速度最大時(shí)，進(jìn)入粗糙斜面那一部分的長(zhǎng)度是多少？
（2）當(dāng)木板進(jìn)入粗糙斜面部分的長(zhǎng)度為多少時(shí)，木板處于光滑斜面的那一部分跟處于粗糙斜面的那一部分之間的相互作用力最大？最大作用力為多少？

Answer 1

分析 （1）木板進(jìn)入粗燥斜面，隨著木板進(jìn)入越多，摩擦力越大，當(dāng)重力沿斜面下的分力剛好等于摩擦力時(shí)，木板的加速過(guò)程剛好結(jié)束，木板的加速度剛好減速到零，由牛頓第二定律可動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）進(jìn)入粗糙斜面后，分別對(duì)粗糙部分和光滑部分用牛頓第二定律聯(lián)立可解得最大作用力．

解答 解：（1）設(shè)木板運(yùn)動(dòng)速度最大時(shí)，進(jìn)入粗燥斜面的部分長(zhǎng)度為x₁時(shí)，分析可知，此時(shí)木板的加速過(guò)程剛好結(jié)束，木板的加速度剛好減速到零，由牛頓第二定律得$mgsinθ-μ\frac{x}{L}mgcosθ=0$
解得X₁=$\frac{2}{3}$L
（2）設(shè)木板進(jìn)入粗燥斜面部分的長(zhǎng)度為x時(shí)，木板的加速度為a，光滑斜面中的那一部分跟粗燥斜面中的那一部分的相互作用力的大小為F，則由牛頓第二定律得
$mgsinθ-μ\frac{{x}_{1}^{\;}}{L}mgcosθ=ma$
對(duì)于光滑斜面的那一部分，由牛頓第二定律得
$\frac{L-x}{L}mgsinθ-F=\frac{L-x}{L}ma$
聯(lián)立解得$F=\frac{3}{2{L}_{2}}（L-x）xmgsinθ$
當(dāng)L-x=x，即$x=\frac{L}{2}$ 時(shí)，F(xiàn)有極大值為
${F}_{m}=\frac{3}{8}mgsinθ$
答：（1）A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)速度最大時(shí)，進(jìn)入粗糙斜面那一部分的長(zhǎng)度是$\frac{2}{3}L$．
（2）當(dāng)木板進(jìn)入粗糙斜面部分的長(zhǎng)度為$\frac{L}{2}$時(shí)，木板處于光滑斜面的那一部分跟處于粗糙斜面的那一部分之間的相互作用力最大，最大作用力為$\frac{3}{8}mgsinθ$．

點(diǎn)評(píng) 本題中要注意摩擦力隨著滑塊進(jìn)入粗糙斜面長(zhǎng)度的變化而變化；進(jìn)入后要能分別對(duì)粗糙部分和光滑部分別用牛頓第二定律聯(lián)立求解．