Question

“神舟七號(hào)”飛船完成了預(yù)定空間科學(xué)和技術(shù)實(shí)驗(yàn)任務(wù)后，返回艙于2008年9月28日17時(shí)37分開(kāi)始從太空向地球表面按預(yù)定軌道返回，在離地10km  的高度打開(kāi)阻力降落傘減速下降，這一過(guò)程中若返回艙所受阻力與速度的平方成正比，比例系數(shù)（空氣阻力系數(shù)）為k．設(shè)返回艙總質(zhì)量M=3000kg，所受空氣浮力恒定不變，且認(rèn)為豎直降落．從某時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)．返回艙的運(yùn)動(dòng)v--t圖象如圖中的AD曲線所示，圖中AB是曲線在A點(diǎn)的切線，切線交于橫軸一點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），CD是平行橫軸的直線，交縱軸于C點(diǎn)，c的坐標(biāo)為（0，8）．g取10m/s²，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）在初始時(shí)刻v₀=160m/s時(shí)，它的加速度多大？
（2）推證空氣阻力系數(shù)的表達(dá)式并算出其數(shù)值．
（3）返回艙在距離地面高度h=1m時(shí)，飛船底部的4個(gè)反推力小火箭點(diǎn) 火工作，使其速度由8m/s迅速減至1m/s后落在地面上，若忽略燃料質(zhì)量的減少對(duì)返回艙總質(zhì)量的影響，并忽略此階段速度變化而引起空氣阻力的變化，試估算每支小火箭的平均推力．（計(jì)算結(jié)果取兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析：（1）由v-t圖象切線的斜率為此時(shí)的加速度，可以得到v₀=160m/s時(shí)，它的加速度
（2）在v-t圖象選取兩個(gè)點(diǎn)，t=0時(shí)，列牛頓第二定律，和v=8m/s時(shí)，由于是勻速階段，故列平衡方程，兩式聯(lián)立可以解得k的表達(dá)式和數(shù)值
（3）此階段是在火箭反推力下做的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，故可以由此求得加速度表達(dá)式，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)可以解得推力．

解答：解：（1）由v-t圖象性質(zhì)可以得，在初始v₀=160m/s時(shí)，過(guò)A點(diǎn)切線的斜率為此時(shí)的加速度，設(shè)為a₁，其大小為：a1=

△v

△t

=

160

8

m/s2=20m/s2
（2）由圖知，返回艙的速度變化率逐漸減小，最有是以v₁=8m/s的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)返回艙受空氣浮力為f
在t=0時(shí)，由牛頓第二定律：
kv02+f-Mg=Ma1
速度為v₁=8m/s時(shí)，返回艙受力平衡，有
kv12+f-Mg=0
由以上兩式解得：
k=

Ma1

v02-v12

帶入數(shù)據(jù)得：
k=2.35kg/m
（3）設(shè)每只小火箭的平均推力為F₀，反推加速度為a₂，著地速度為v₂，由題意知，返回艙在距離地面高度h=1m前，已經(jīng)處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，故返回艙在著地前的加速度由4個(gè)小火箭的反推力產(chǎn)生，根據(jù)牛頓第二定律有：
4F₀-Mg=Ma₂
又由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：
v22-v12=-2a2h
由以上兩式解得：
F0=

M(v12-v22)

8h

帶入數(shù)據(jù)解得：
F₀=24375N
保留兩位有效數(shù)字得：
F₀=2.4×10⁴N
答：
（1）在初始時(shí)刻速度為160m/s時(shí)，它的加速度為20m/s²
（2）推證空氣阻力系數(shù)的表達(dá)式為k=

Ma1

v02-v12

，數(shù)值k=2.35kg/m
（3）每支小火箭的平均推力為2.4×10⁴N

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵點(diǎn)就是對(duì)v-t圖象的識(shí)別和應(yīng)用，這類題目需要特別注意的是特殊點(diǎn)，即速度和時(shí)間都有明確數(shù)值的點(diǎn)，另應(yīng)注意起點(diǎn)，終點(diǎn)，交點(diǎn)，斜率四個(gè)知識(shí)點(diǎn)．