Question

2．如圖所示，物塊A、B、C的質量分別為M、3m、m，并均可視為質點，它們間有m＜M＜4m關系．三物塊用輕繩通過滑輪連接，物塊B與C間的距離和C到地面的距離均是L．若C與地面、B與C相碰后速度立即減為零，B與C相碰后粘合在一起．（設A距離滑輪足夠遠且不計一切阻力）．
（1）求物塊C剛著地時的速度大��？
（2）若使物塊B不與C相碰，則$\frac{M}{m}$應滿足什么條件？
（3）若M=2m時，求物塊A由最初位置上升的最大高度？
（4）若在（3）中物塊A由最高位置下落，拉緊輕繩后繼續(xù)下落，求物塊A拉緊輕繩后下落的最遠距離？

Answer 1

分析 （1）對系統(tǒng)由機械能守恒定律可以求出C落地時的速度；
（2）C落地后，根據(jù)AB兩物體系統(tǒng)機械能守恒，求出B恰好落地的臨界條件，再判斷M與m的關系；
（3）當C著地后，A、B兩物體系統(tǒng)機械能守恒，A上升L時，速度最大，結合系統(tǒng)機械能守恒求出物塊A上升的最大速度；
（4）應用動量守恒定律與機械能守恒定律可以求出下落的最遠距離．

解答 解：（1）設C到達地面時三者速度大小為V₁，由機械能守恒定律得：
$4mgL-MgL=\frac{1}{2}（4m+M）{v_1}^2$，
解得：${v_1}=\sqrt{\frac{2（4m-M）gL}{4m+M}}$；
（2）設此后B到達地面時速度恰好為零．
有：$3mgL-MgL=0-\frac{1}{2}（M+3m）v_1^2$，
解得：$M=2\sqrt{3}m$，因此應滿足：$\frac{M}{m}$＞2$\sqrt{3}$時，物塊B不能著地．
（3）若M=2m時，設C到達地面時三者速度大小為V₂，由機械能守恒定律得：
$4mgL-2mgL=\frac{1}{2}（4m+2m）{v_2}^2$，
再設AB運動到B到達地面時速度大小為v₃，有：
$3mgL-2mgL=\frac{1}{2}（3m+2m）{v_3}^2-\frac{1}{2}（3m+2m）{v_2}^2$，
此后A物塊還能上升的高度為h，$2mgh=\frac{1}{2}2m{v_3}^2$
可得A物塊上升的最大高度為：$H=2L+h=\frac{38}{15}L$
（4）物塊A下落距離$h=\frac{8}{15}L$時，拉緊細線，
設此時物塊A速度大小為v₄，有：$2mg\frac{8}{15}L=\frac{1}{2}2m{v_4}^2$，
此時由動量守恒定律得A、BC三者有大小相等的速度設為v₅，
以向下為正方向，由動量守恒定律得：2mv₄=（2m+4m）v₅
設A拉緊細線后下落的最遠距離為s：$2mgs-4mgs=0-\frac{1}{2}（4m+2m）v_5^2$
由以上幾式可得：$s=\frac{8}{45}L$；
答：（1）物塊C剛著地時的速度大小為$\sqrt{\frac{2（4m-M）gL}{4m+M}}$；
（2）若使物塊B不與C相碰，則$\frac{M}{m}$應滿足的條件是：$\frac{M}{m}$＞2$\sqrt{3}$．
（3）若M=2m時，物塊A由最初位置上升的最大高度為$\frac{38}{15}$L．
（4）若在（3）中物塊A由最高位置下落，拉緊輕繩后繼續(xù)下落，物塊A拉緊輕繩后下落的最遠距離為$\frac{8}{45}$L．

點評 本題時一道力學綜合題，難度較大，解題時要分析清楚物體的運動過程，關鍵是要靈活地選擇研究對象，雖然單個物體機械能不守恒，但系統(tǒng)機械能守恒．