Question

【題目】“太空粒子探測(cè)器”是由加速、偏轉(zhuǎn)和收集三部分組成.其原理可簡(jiǎn)化如下：如圖所示，輻射狀的加速電場(chǎng)區(qū)域邊界為兩個(gè)同心平行半圓弧面，圓心為M，外圓弧面AB與內(nèi)圓弧面CD的電勢(shì)差為U.圖中偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)分布在以P為圓心，半徑為3R的圓周內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外；內(nèi)有半徑為R的圓盤(pán)（圓心在P處）作為收集粒子的裝置，粒子碰到圓盤(pán)邊緣即被吸收.假設(shè)太空中漂浮著質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子，它們能均勻地吸附到AB圓弧面上，并被加速電場(chǎng)從靜止開(kāi)始加速，從M點(diǎn)以某一速率向右側(cè)各個(gè)方向射入偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，不計(jì)粒子間的相互作用和其他星球?qū)αＷ右�力的影響�?/span>

（1）粒子到達(dá)M點(diǎn)的速率?

（2）若電勢(shì)差U=，則粒子從M點(diǎn)到達(dá)圓盤(pán)的最短時(shí)間是多少?

（3）接第（2）問(wèn)，試求到達(dá)圓盤(pán)的粒子數(shù)與到達(dá)M點(diǎn)的粒子總數(shù)比值η。（結(jié)果用反三角函數(shù)表示，例：sinθ=k，則θ=arcsink，θ為弧度）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

(1)設(shè)粒子到達(dá)M點(diǎn)的速度為v，由動(dòng)能定理：qU=mv2

解得：

v=，

(2)將U=代入，則有：

v==，

設(shè)該粒子軌跡半徑為r，根據(jù)：qvB=m，

解得：

r=2R，

若要時(shí)間最短，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的弦長(zhǎng)最短，故從M斜向上射入，到達(dá)圓盤(pán)的粒子用時(shí)最短；如圖所示：

由幾何關(guān)系可得：ME=EO=OM=2R，

故∠MOE=，可得：

tmin=T，

因?yàn)椋?/span>T=，

所以：

tmin=，

(3)若粒子以與MP成α角從M點(diǎn)射入磁場(chǎng)，軌跡恰好與圓盤(pán)相切，畫(huà)出軌跡如圖所示；

根據(jù)幾何關(guān)系找出粒子軌跡的圓心與O1剛好落在磁場(chǎng)的邊界上，則有：MP=O1P=3R

在等腰MPO1中作PF⊥MO1

因?yàn)?/span>PF與該粒子從M進(jìn)入時(shí)的速度方向平行，故：

sinα==，

即：

α=arcsin，

若粒子以與MP垂直從M點(diǎn)射入磁場(chǎng)，軌跡也恰與圓盤(pán)相切，如圖所示；

故入射角度在arcsin至之間的粒子打在圓盤(pán)上；

故達(dá)圓盤(pán)的粒子數(shù)與到達(dá)M點(diǎn)的粒子總數(shù)比值：

η=；