Question

如圖所示，相距為R的兩塊平行金屬板M、N正對(duì)著放置，s₁、s₂分別為M、N板上的小孔，s₁、s₂、O三點(diǎn)共線，它們的連線垂直M、N，且s₂O=R．以O(shè)為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．D為收集板，收集板上各點(diǎn)到O點(diǎn)的距離以及兩端點(diǎn)A和C的距離都為2R，板兩端點(diǎn)的連線AC垂直M、N板．質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，經(jīng)s₁進(jìn)入M、N間的電場(chǎng)后，通過s₂進(jìn)入磁場(chǎng)．粒子在s₁處的速度和粒子所受的重力均不計(jì)．
（1）當(dāng)M、N間的電壓為U_x時(shí)，求粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小v_x；
（2）要使粒子能夠打在收集板D上，求在M、N間所加電壓的范圍；
（3）若粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上，求粒子從s₁開始運(yùn)動(dòng)到打在D的中點(diǎn)上經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

（1）粒子從s₁到達(dá)s₂的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：qUx=

1

2

mvx2
        解得：vx=

2qUx m

（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)此時(shí)其速度大小為v，軌道半徑為r，根據(jù)牛頓第二定律得：qvB=m

v2

r

粒子在M、N之間運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理得：qU=

1

2

mv2，
  聯(lián)立解得：U=

qB2r2

2m

當(dāng)粒子打在收集板D的A點(diǎn)時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間最長，由幾何關(guān)系可知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r1=

3

3

R，此時(shí)M、N間的電壓最小，為U1=

qB2R2

6m

當(dāng)粒子打在收集板D的C點(diǎn)時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間最短，由幾何關(guān)系可知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r2=

3

R，此時(shí)M、N間的電壓最大，為U2=

3qB2R2

2m

要使粒子能夠打在收集板D上，在M、N間所加電壓的范圍為

qB2R2

6m

≤U≤

3qB2R2

2m

．
（3）根據(jù)題意分析可知，當(dāng)粒子打在收集板D的中點(diǎn)上時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系可以求得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r₀=R，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v0=

qBr0

m

   粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t1=

R

v0 2

   粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πr0

v0

=

2πm

qB

   粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間t2=

1

4

T
  粒子出磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間t3=

R

v0

所以粒子從s₁運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為t=t1+t2+t3=

(6+π)m

2qB

答：（1）當(dāng)M、N間的電壓為U_x時(shí)，求粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小vx=

2qUx m

；
   （2）要使粒子能夠打在收集板D上，在M、N間所加電壓的范圍為

qB2R2

6m

≤U≤

3qB2R2

2m

；
   （3）若粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上，粒子從s₁開始運(yùn)動(dòng)到打在D的中點(diǎn)上經(jīng)歷的時(shí)間是

(6+π)m

2qB

．