Question

9．如圖所示，ACB為光滑弧形槽，弧形槽半徑為R，R＞＞$\overline{AC}$，甲球從弧形槽的球心處自由落下，乙球從A點(diǎn)由靜止釋放，問：
（1）兩球第1次到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間之比．
（2）若在圓弧的最低點(diǎn)C的正上方h處由靜止釋放小球甲，讓其自由下落，同時(shí)乙球從圓弧左側(cè)由靜止釋放，欲使甲、乙兩球在圓弧最低點(diǎn)C處相遇，則甲球下落的高度h是多少？

Answer 1

分析 （1）據(jù)自由路體運(yùn)動(dòng)和單擺的周期公式即可求解．（2）由于周期性，據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)和單擺的周期公式聯(lián)合求解．

解答 解：（1）甲球做自由落體運(yùn)動(dòng)，$R=\frac{1}{2}gt_1^2$，所以有：${t_1}=\sqrt{\frac{2R}{g}}$
乙球沿圓弧第1次到達(dá)C處的時(shí)間為：${t_2}=\frac{T}{4}=\frac{{2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}}}{4}=\frac{π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}$
所以，$\frac{t_1}{t_2}=\frac{{2\sqrt{2}}}{π}$
（2）設(shè)甲球從離弧形槽最低點(diǎn)h高處開始自由下落，${t_甲}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
由于乙球運(yùn)動(dòng)的周期性，所以乙球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)間為${t_乙}=\frac{T}{4}+n\frac{T}{2}=\frac{π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}（2n+1），n=0，1，2，…$
由甲、乙相遇t_甲=t_乙知：$h=\frac{{{{（2n+1）}^2}{π^2}R}}{8}（n=0，1，2，…）$
答：（1）兩球第1次到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間之比是$\frac{2\sqrt{2}}{π}$；
（2）若在圓弧的最低點(diǎn)C的正上方h處由靜止釋放小球甲，讓其自由下落，同時(shí)乙球從圓弧左側(cè)由靜止釋放，欲使甲、乙兩球在圓弧最低點(diǎn)C處相遇，則甲球下落的高度$\frac{（2n+1）^{2}{π}^{2}R}{8}$ （n=0、1、2、…）．

點(diǎn)評(píng) 該題的第二問看似是第一問的重復(fù)，而實(shí)際上要考慮到乙運(yùn)動(dòng)的周期性，寫出乙到達(dá)最低點(diǎn)的時(shí)刻的通式是解題的關(guān)鍵．