Question

（18分）一水平放置的圓環(huán)形剛性窄槽固定在桌面上，槽內(nèi)嵌著三個(gè)大小相同的剛性小球，它們的質(zhì)量分別為m₁、m₂、m₃，且m₂=m₃= 2m₁．小球與槽的兩壁剛好接觸且不計(jì)所有摩擦。起初三個(gè)小球處于如圖- 25所示的等間距的I、II、III三個(gè)位置，m₂、m₃靜止，m₁以初速度沿槽運(yùn)動(dòng)，R為圓環(huán)內(nèi)半徑與小球半徑之和。已知m₁以v₀與靜止的m₂碰撞之后，m₂的速度大小為2v₀/3；m₂與m₃碰撞之后二者交換速度；m₃與m₁之間的碰撞為彈性碰撞：求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T．

Answer 1

設(shè)經(jīng)過與相碰，--------------------------------------①           (1分)

設(shè)與碰撞之后兩球的速度分別為、在碰撞過程中由動(dòng)量守恒定律得：

-------------------------------------------------------②          (2分)

因，求得   ，

方向與碰前速度方向相反.                (1分)

設(shè)經(jīng)過與相碰，------------------------------------③          (1分)

設(shè)與碰撞之后兩球的速度分別為、，因與在碰撞后交換速度

所以  ，                                        (1分)

由碰后速度關(guān)系知，與碰撞的位置在Ⅰ位置，設(shè)經(jīng)過與相碰，

----------------------------------------------------------------------⑦           (1分)

設(shè)與碰撞后的速度分別為 ，，

由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律可得：

-------------------------------------⑧           (2分)

---------------------⑨           (2分)

聯(lián)立⑤，⑥得：

或（舍）                                     (2分)

設(shè)碰后經(jīng)回到Ⅱ位置，--------------------------------⑩          (1分)

至此，三個(gè)小球相對(duì)于原位置分別改變了120⁰，且速度與最初狀態(tài)相同。故再經(jīng)過兩個(gè)相同的過程，即完成一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期。

                                          (4分)