Question

14．質(zhì)量相等的甲、乙兩顆衛(wèi)星分別貼近某星球表面和地球表面圍繞其做勻速圓周運動，已知該星球和地球的密度相同，半徑分別為R和r，則（　�。�

• A． 甲、乙兩顆衛(wèi)星的加速度之比等于R：r
• B． 甲、乙兩顆衛(wèi)星所受的向心力之比等于1：1
• C． 甲、乙兩顆衛(wèi)星的線速度之比等于R：r
• D． 甲、乙兩顆衛(wèi)星的周期之比等于R：r

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力得出加速度、線速度、周期的表達式，結(jié)合天體質(zhì)量和密度的關(guān)系得出加速度、線速度、周期的表達式，從而進行比較．

解答 解：A、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=ma$得，a=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，又M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$，則a=$\frac{4}{3}GρπR$，因為星球和地球的半徑之比為R：r，則甲乙兩顆衛(wèi)星的加速度之比為R：r，故A正確．
B、衛(wèi)星所受的向心力等于萬有引力的大小，根據(jù)F=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$知，半徑之比為R：r，甲乙質(zhì)量相等，則向心力之比為r²：R²，故B錯誤．
C、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，又M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$，則v=$\sqrt{\frac{4ρGπ}{3}}R$，因為星球和地球的半徑之比為R：r，則線速度之比為R：r，故C正確．
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}$，又M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$，則T=$\sqrt{\frac{3π}{ρG}}$，可知甲乙兩顆衛(wèi)星的周期之比為1：1，故D錯誤．
故選：AC．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，知道線速度、角速度、周期、加速度與什么因素有關(guān)，難度不大．