Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy的第一象限內(nèi)有一直角邊長(zhǎng)為L的等腰直角三角形OPQ，三角形的O點(diǎn)恰好為平面直角坐標(biāo)系xoy的坐標(biāo)原點(diǎn)該區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第一象限中y≤L的其它區(qū)域內(nèi)有大小為E、方向沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)；一束電子（電荷量為-e、質(zhì)量為m）以大小不同的初速度從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸正方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域。則：

（1）能夠進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域的電子，初速度大小范圍是多少；

（2）已知一個(gè)電子能從OQ之間某一點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域，最后恰好從P點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，求該電子由O到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

（3）若電場(chǎng)區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度E大小連續(xù)可調(diào)，要使電子能從x軸離開(kāi)電場(chǎng)，則電子的初速度v大小和電場(chǎng)強(qiáng)度E大小分別滿(mǎn)足什么條件。

Answer 1

【答案】（1）0≤v≤（2）+；（3）v≤，E≤

【解析】

（1）通過(guò)Q點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域的電子速度最大，其半徑r1=L

由牛頓第二定律得：ev1B=m

解得：v1=

能夠進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域的電子的速度范圍是：0≤v≤

（2）設(shè)從P點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)的電子半徑為r2，則有：r2=

由牛頓第二定律得：ev2B=m

解得：v2=

因?yàn)殡娮釉诖艌?chǎng)運(yùn)動(dòng)的周期為：T=

電子第一次和第二次穿過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間相等，均為個(gè)周期，即為：t1=t2==

在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)：由牛頓第二定律得：eE=ma

電子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t3=2×

聯(lián)立解得：t3=

所以，電子由O到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=t1+t2+t3=+；

（3）只有當(dāng)電子第一次從電場(chǎng)回到磁場(chǎng)且不從OP和PQ兩邊離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，電子才有可能偏轉(zhuǎn)通過(guò)x軸，即電子第一次返回磁場(chǎng)的半徑r3滿(mǎn)足； r3

設(shè)電子從O點(diǎn)射入的初速度為v3，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：ev3B=m

解得：v3≤

電子第二次進(jìn)入電場(chǎng)的坐標(biāo)x=2r3，y=2r3，

電子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)到達(dá)x軸的時(shí)間： t==

到達(dá)x軸時(shí)沿x軸負(fù)方向的位移x0==

當(dāng)x0≤2r3時(shí)，即可由電子穿過(guò)x軸，因r3，則

得：E≤

要使電子能從x軸離開(kāi)電場(chǎng)，則電子的初速度條件為：v≤，電場(chǎng)強(qiáng)度條件為：E≤.