Question

15．如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的繩子下端連著質(zhì)量為m的小球，上端懸于天花板上，把繩子拉直時(shí)，繩子與豎直線夾角為θ=60°，此時(shí)小球靜止于光滑的水平桌面上．問：
（1）當(dāng)球以ω=$\sqrt{\frac{g}{L}}$做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力T₁為多大？桌面受到壓力N₁為多大？
（2）當(dāng)球以角速度ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子的張力T₂及桌面受到的壓力N₂分別為多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)球做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，采用正交分解法列方程求解繩子的張力和支持力，再由牛頓第三定律求出桌面受到的壓力．
（2）當(dāng)小球?qū)ψ烂媲『脽o壓力時(shí)，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解此時(shí)小球的角速度．根據(jù)角速度ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$與臨界角速度的關(guān)系，判斷小球是否離開桌面．若小球桌面做圓周運(yùn)動(dòng)，再由牛頓第二定律求解繩子的張力．

解答 解：（1）對(duì)小球受力分析，作出力圖如圖1
根據(jù)牛頓第二定律，得
   T₁sin60°=mω²Lsin60°①
   mg=N₁+T₁cos60°  ②
又ω=$\sqrt{\frac{g}{L}}$，解得
  T₁=mg，N₁=$\frac{1}{2}mg$；
（2）設(shè)小球?qū)ψ烂媲『脽o壓力時(shí)角速度為ω₀，即N₂=0
代入①②得ω₀=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$，由于ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$＞ω₀，故小球離開桌面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則N=0此時(shí)小球的受力如圖2．
設(shè)繩子與豎直方向的夾角為θ，則有
  mgtanθ=mω²•Lsinθ③
   mg=T₂cosθ        ④
聯(lián)立③④解得 T₂=4mg
答：（1）當(dāng)球以ω=$\sqrt{\frac{g}{L}}$做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力T₁=mg，桌面受到壓力N₁=$\frac{1}{2}mg$；
（2）當(dāng)球以角速度ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子的張力T₂=4mg，桌面受到的壓力N₂=0．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓錐擺問題，分析受力，確定向心力來源是關(guān)鍵，實(shí)質(zhì)是牛頓第二定律的特殊應(yīng)用．