Question

如圖所示，在水平桌面上放有長木板C，C上右端是固定擋板P，在C上左端和中點處各放有小物塊A和B，A、B的尺寸以及P的厚度皆可忽略不計，A、B之間和B、P之間的距離皆為L．設(shè)木板C與桌面之間無摩擦，A、C之間和B、C之間的靜摩擦因數(shù)及滑動摩擦因數(shù)均為μ；A、B、C（連同擋板P）的質(zhì)量相同．開始時，B和C靜止，A以某一初速度向右運動．試問下列情況是否能發(fā)生？要求定量求出能發(fā)生這些情況時物塊A的初速度V₀應(yīng)滿足的條件，或定量說明不能發(fā)生的理由．
（1）物塊A與B發(fā)生碰撞；
（2）物塊A與B發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊B與擋板P發(fā)生碰撞；
（3）物塊B與擋板P發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊B與A在木板C上再發(fā)生碰撞；
（4）物塊A從木板C上掉下來；
（5）物塊B從木板C上掉下來．

Answer 1

（1）、以m表示物塊A、B和木板C的質(zhì)量，當物塊A以初速度

v

0

向右運動時，A將受到木板施加的向左的大小為μmg的滑動摩擦力而減速，木板C則受到物塊A施加的大小為μmg的滑動摩擦力和物塊B施加的大小為f的摩擦力而做加速運動，物塊B則因受木板C施加的摩擦力f作用而加速，設(shè)A、B、C三者的加速度分別為

a

A

、

a

B

和

a

C

，則由牛頓第二定律，
有μmg=m

a

A

，μmg-f=m

a

C

，f=m

a

B

，事實上此題中

a

B

=

a

C

，即B、C之間無相對運動，這是因為當

a

B

=

a

C

時，由上式可得f=

1

2

μmg     （1），
它小于最大靜摩擦力μmg．可見靜摩擦力使物塊B、木板C之間不發(fā)生相對運動．
若物塊A剛好與物塊B不發(fā)生碰撞，則物塊A運動到物塊B所在處時，A與B的速度大小相等．因物塊B與木板C速度相等，所以此時三者速度均相同，設(shè)為

v

1

，由動量守恒定律得
m

v

0

=3m

v

1

   （2），
在此過程中，設(shè)木板C運動的路程為

S

1

，則物塊A的路程為

S

1

+L，如圖所示，



由動能定理得
對A有

1

2

m

v

21

-

1

2

m

v

20

=-μmg（

S

1

+L）       （3）
對C與B有

1

2

（2m）

v

21

=μm

gS

1

                （4）
解（3）、（4）可得

1

2

（3m）

v

21

-

1

2

m

v

20

=-μmgL          （5）式中L就是物塊A相對木板C運動的路程．
解（2）、（5）得

v

0

=

3μmgL

             （6）
即物塊A的初速度

v

0

=

3μmgL

時，A剛好不與B發(fā)生碰撞，若

v

0

＞

3μmgL

，則A與B發(fā)生碰撞，故A與B發(fā)生碰撞的條件是

v

0

＞

3μmgL

       （7）
即A與B發(fā)生碰撞的條件是

v

0

＞

3μmgL

．
（2）、當物塊A的初速度

v

0

滿足（7）式時，A與B將發(fā)生碰撞，設(shè)碰撞的瞬間，A、B、C三者的速度分別為

v

A

、

v

B

和

v

C

，則有

v

A

＞

v

B

    

v

B

=

v

C

      （8）
在物塊A、B發(fā)生碰撞的極短時間內(nèi)，木板C對它們的摩擦力的沖量非常小，可忽略不計．故在碰撞過程中，A與B構(gòu)成的系統(tǒng)動量守恒，而木板C的速度保持不變，因為物塊A、B間的碰撞是彈性的，系統(tǒng)的機械能守恒，又因為質(zhì)量相等，由動量守恒和機械能守恒可以證明（證明從略），碰撞前后A、B交換速度，若碰撞剛結(jié)束時，A、B、C三者速度分別為

v

′A

、

v

′B

和

v

′C

，則有

v

′A

=

v

B

   

v

′B

=

v

A

   

v

′C

=

v

C

    （9）
由（8）、（9）式可知，物塊A與木板C速度相等，保持相對靜止，B相對AC向右運動，以后發(fā)生的過程相當于第1問中所進行的延續(xù)，由物塊B代替A繼續(xù)向右運動．
若物塊B剛好與擋板P不發(fā)生碰撞，則物塊B以速

v

′B

從C板的中點運動到擋板P所在處時與C的速度相等．A與C的速度大小是相等的，A、B、C三者的速度相等，設(shè)此時三者的速度

v

2

，根據(jù)動量守恒定律有m

v

0

=3m

v

2

    （10）
A以初速度

v

0

開始運動，接著與B發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞后物塊A相對木板C靜止，B到達P所在處這一整個過程中，先是A相對C運動的路程為L，接著是B相對C運動的路程為L，整個系統(tǒng)動能的改變，等于系統(tǒng)內(nèi)部相互間的滑動摩擦力做功的代數(shù)和，即

1

2

（3m）

v

22

-

1

2

m

v

20

=-μmg.2L        （11）
解（10）、（11）兩式得  

v

0

=

6μmgL

      （12）
即物塊A的初速度

v

0

=

6μmgL

時，A與B碰撞，但B與P剛好不發(fā)生碰撞，
若使

v

0

＞

6μmgL

，就能使B與P發(fā)生碰撞，故A與B碰撞后，物塊B與擋板P發(fā)生碰撞的條件是
 

v

0

＞

6μmgL

                                     （13）
即物塊A與B發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊B與擋板P發(fā)生碰撞的條件是

v

0

＞

6μmgL

．
（3）、若物塊A的初速度

v

0

滿足條件（13）式，則在A、B發(fā)生碰撞后，B將與擋板P發(fā)生碰撞，設(shè)在碰撞前瞬間，A、B、C三者的速度分別為

v

″A

、

v

″B

和

v

″C

，則有
  

v

″B

＞

v

″A

=

v

″C

                      （14）
B與P碰撞后的瞬間，A、B、C三者的速度分別為

v

″′A

、

v

″′B

和

v

′″C

，則仍類似于第2問解答中（9）的道理，有

v

″′B

=

v

″C

     

v

″′C

=

v

″B

    

v ″′A

=

v

″A

            （15）
由（14）、（15）式可知B與P剛碰撞后，物塊A與B的速度相等，都小于木板C的速度，即

v

″′C

＞

v

″A

=

v

″′B

                                   （16）
在以后的運動過程中，木板C以較大的加速度向右做減速運動，而物塊A和B以相同的較小的加速度向右做加速運動，加速度的大小分別為

a

C

=2μg     

a

A

=

a

B

=μg                        （17）
加速過程將持續(xù)到或者A和B與C的速度相同，三者以相同速度

1 3 v

0

向右做勻速運動，或者木塊A從木板C上掉了下來．因此物塊B與A在木板C上不可能再發(fā)生碰撞．
即物塊B與擋板P發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊B與A在木板C上不可能再發(fā)生碰撞．
（4）、若A恰好沒從木板C上掉下來，即A到達C的左端時的速度變?yōu)榕cC相同，這時三者的速度皆相同，以

v

3

表示，由動量守恒有
      3m

v

3

=m

v

0

                               （18）
從A以初速度

v

0

在木板C的左端開始運動，經(jīng)過B與P相碰，直到A剛沒從木板C的左端掉下來，這一整個過程中，系統(tǒng)內(nèi)部先是A相對C的路程為L；接著B相對C運動的路程也是L；b與P碰后直到A剛沒從木板C上掉下來，A與B相對C運動的路程也皆為L．整個系統(tǒng)動能的改變應(yīng)等于內(nèi)部相互間的滑動摩擦力做功的代數(shù)和，即

1

2

（3m）

v

23

-

1

2

m

v

20

=-μmg.4L                                     （19）
由（18）、（19）兩式，得

v

0

=

12μgL

                                       （20）
即當物塊A的初速度

v

0

=

12μgL

時，A剛好不會從木板C上掉下．若

v

0

＞

12μgL

，則A將從木板C上掉下，故A從C上掉下的條件是
    

v

0

＞

12μgL

                                        （21）
即物塊A從木板C上掉下來的條件是

v

0

＞

12μgL

．
（5）若物塊A的初速度

v

0

滿足條件（21）式，則A將從木板C上掉下來，設(shè)A剛要從木板C上掉下來時，A、B、C三者的速度分別為

v

″′A

、

v

″′B

和

v

″C

，則有

v

″′A

=

v

″′B

＜

v

″′C

                                   （22）
這時（18）式應(yīng)改寫為
m

v

0

=2

mv

″″A

+

mv

″″C

                               （23）
（19）式應(yīng)改寫為

1

2

(2m)v

″″2B

+

1

2

m

v

″″2C

-

1

2

m

v

20

=-μmg.4L           （24）
當物塊A從木板C上掉下來后，若物塊B剛好不會從木板C上掉下，即當C的左端趕上B時，B與C的速度相等．設(shè)此速度為

v

4

，則對B、C這一系統(tǒng)來說，由動量守恒定律，有

v

″″B

+m

v

″″C

=2m

v

4

                              （25）
在此過程中，對這一系統(tǒng)來說，滑動摩擦力做功的代數(shù)和為-μmgL，由動能定理可得

1

2

(2m)v

24

-（

1

2

mv

″″2B

+

1

2

mv

″″2C

）=-μmgL             （26）
由（23）、（24）、（25）、（26）式可得

v

0

=4

μmgL

                                        （27）
即當

v

0

＞4

μmgL

時，物塊B剛好不能從木板C上掉下．若，則B將從木板C上掉下，故物塊B從木板C上掉下來的條件是

v

0

＞

μmgL

                                       （28）
即物塊B從木板C上掉下來的條件是

v

0

＞

μmgL

．