Question

8．某同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖所示的趣味實(shí)驗(yàn)來(lái)研究碰撞問(wèn)題，用材料和長(zhǎng)度相同的不可伸長(zhǎng)的輕繩依次將N個(gè)大小相同、質(zhì)量不等的小球懸掛于水平天花板下方，且相鄰的小球靜止時(shí)彼此接觸但無(wú)相互作用力，小球編號(hào)從左到右依次為1、2、3、…、N，每個(gè)小球的質(zhì)量為其相鄰左邊小球質(zhì)量的k倍（k＜1）．在第N個(gè)小球右側(cè)有一光滑軌道，其中AB段是水平的，BCD段是豎直面內(nèi)的半圓形，兩段光滑軌道在B點(diǎn)平滑連接，半圓軌道的直徑BD沿豎直方向．在水平軌道的A端放置一與第N個(gè)懸掛小球完全相同的P小球，所有小球的球心等高．現(xiàn)將1號(hào)小球由最低點(diǎn)向左拉起高度h，保持繩繃緊狀態(tài)由靜止釋放1號(hào)小球，使其與2號(hào)小球碰撞，2號(hào)小球再與3號(hào)小球碰撞…．所有碰撞均為在同一直線上的正碰且無(wú)機(jī)械能損失．已知重力加速度為g，空氣阻力、小球每次碰撞時(shí)間均可忽略不計(jì)．
（1）求1號(hào)小球與2號(hào)小球碰撞之前的速度v₁的大�。�
（2）若N=3，求第3個(gè)小球與P小球發(fā)生第一次碰撞前的速度v₃的大小；
（3）若N=5，當(dāng)半圓形軌道半徑R=$\frac{32}{5}$h時(shí)，P小球第一次被碰撞后恰好能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)D，求k值的大小．

Answer 1

分析 1、對(duì)于1號(hào)小球由h高運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒求出碰前的速度
2、對(duì)于1、2號(hào)小球碰撞的過(guò)程根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒列出等式，對(duì)于2、3號(hào)小球碰撞的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒求解
3、因?yàn)?號(hào)小球與P小球質(zhì)量相等，可知二者發(fā)生碰撞后交換速度，根據(jù)牛頓第二定律得P小球在D速度，P小球由A到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒求解．

解答 解：（1）設(shè)1號(hào)小球的質(zhì)量為m₁，碰前的速度為v₁，
對(duì)于1號(hào)小球由h高運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒
${m_1}gh=\frac{1}{2}{m_1}{v_1}^2$
解得：${v_1}=\sqrt{2gh}$
（2）設(shè)1號(hào)、2號(hào)小球碰撞后的速度分別為v₁′和v₂，取水平向右為正方向．
對(duì)于1、2號(hào)小球碰撞的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有
 m₁v₁=m₁v'₁+m₂v₂
根據(jù)機(jī)械能守恒有 $\frac{1}{2}{m_1}{v_1}^2=\frac{1}{2}{m_1}{v'_1}^2+\frac{1}{2}{m_2}{v_2}^2$
解得：${v_2}=\frac{2}{1+k}\sqrt{2gh}$
設(shè)2號(hào)、3號(hào)小球碰撞后的速度分別為v₂′和v₃，
對(duì)于2、3號(hào)小球碰撞的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有 m₂v₂=m₂v'₂+m₃v₃
根據(jù)機(jī)械能守恒有 $\frac{1}{2}{m_2}{v_2}^2=\frac{1}{2}{m_2}{v'_2}^2+\frac{1}{2}{m_3}{v_3}^2$
同理可解得：3號(hào)小球被碰后的速度 ${v_3}={（{\frac{2}{1+k}}）^2}\sqrt{2gh}$
即3號(hào)小球與P小球發(fā)生第一次碰撞前的速度大小 ${v_3}={（{\frac{2}{1+k}}）^2}\sqrt{2gh}$
（3）由（2）中的結(jié)果可推知5號(hào)小球被碰后的速度 ${v_5}={（{\frac{2}{1+k}}）^4}\sqrt{2gh}$
因?yàn)?號(hào)小球與P小球質(zhì)量相等，可知二者發(fā)生碰撞后交換速度，
所以P小球第一次被碰撞后的速度 ${v_P}={（{\frac{2}{1+k}}）^4}\sqrt{2gh}$
P小球第一次被碰撞后恰好能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)D，設(shè)其通過(guò)最高點(diǎn)的速度為v_D，
根據(jù)牛頓第二定律P小球在D點(diǎn)有
 ${k^4}{m_1}g=\frac{{{k^4}{m_1}v_D^2}}{R}$
解得：${v_D}=\sqrt{gR}$
P小球由A到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，機(jī)械能守恒有
 $\frac{1}{2}{m_5}v_P^2={m_5}g•2R+\frac{1}{2}{m_5}v_D^2$
解得：${v_P}=\sqrt{5gR}$
將$R=\frac{32}{5}h$代入上式聯(lián)立解得：$k=\sqrt{2}-1$
答：（1）1號(hào)小球與2號(hào)小球碰撞之前的速度v₁的大小是$\sqrt{2gh}$；
（2）若N=3，求第3個(gè)小球與P小球發(fā)生第一次碰撞前的速度v₃的大小是${（\frac{2}{1+k}）}^{2}\sqrt{2gh}$；
（3）若N=5，當(dāng)半圓形軌道半徑R=$\frac{32}{5}$h時(shí)，P小球第一次被碰撞后恰好能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)D，k值的大小是$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題是利用動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒聯(lián)合解決一維碰撞問(wèn)題的典型例子，其中由1號(hào)球的速度歸納第n+1號(hào)球的速度是關(guān)鍵，而且也是難點(diǎn)．