Question

14．如圖所示，左邊足夠長(zhǎng)、高H=0.45m的水平臺(tái)面右端有一以υ₀=2m/s的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)傳送帶BC與其理想連接，在該水平臺(tái)面右邊豎直面CD的右端x=0.4m處也有一高度h=0.25m的足夠長(zhǎng)水平臺(tái)面，其左端豎直面EF也是豎直方向．F點(diǎn)為平臺(tái)的左端點(diǎn)．一質(zhì)量m=1kg的小物塊靜止在水平臺(tái)面A點(diǎn)處，設(shè)A與傳送帶左端點(diǎn)B的距離為s，現(xiàn)用F=2N的恒力作用在小物體上使其向右運(yùn)動(dòng)．已知小物塊與水平臺(tái)面以及傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1，傳送帶的長(zhǎng)度L=1.5m，傳送帶的滑輪大小可以忽略，重力加速度取g=10m/s²．

（1）若恒力F作用一段時(shí)間后即撤去，小物塊滑上傳送帶時(shí)速度恰好為零，求小物塊離開(kāi)傳送帶后，第一落點(diǎn)的位置到F點(diǎn)的距離；
（2）若A與傳送帶左端點(diǎn)B的距離為s=2.5m，為保證小物塊恰好能落在F點(diǎn)，求恒力F的作用時(shí)間t的范圍．

Answer 1

分析 （1）小物塊滑上傳送帶做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小物塊速度增大到與傳送帶相同時(shí)通過(guò)的位移，判斷是否有勻速運(yùn)動(dòng)．再由動(dòng)能定理求出小物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度．根據(jù)H-h及x求出物塊恰好能落在F點(diǎn)時(shí)的初速度，再判斷物塊能否落在F點(diǎn)，即可由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求小物塊離開(kāi)傳送帶后，第一落點(diǎn)的位置到F點(diǎn)的距離．
（2）根據(jù)物塊在傳送帶上一直做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)、勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理求出小物塊剛滑上傳送帶時(shí)的速度，再由AB段過(guò)程，運(yùn)用牛頓第二定律和位移公式結(jié)合求解時(shí)間t的范圍．

解答 解：（1）小物塊滑上傳送帶做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為：a=$\frac{μmg}{m}$=μg=1m/s²．
小物塊速度增大到與傳送帶相同時(shí)通過(guò)的位移為：x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{{2}^{2}}{2×1}$=2m
因x₁＞L，所以物塊在傳送帶上一直做勻加速運(yùn)動(dòng)．設(shè)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為v_C．
則有：${v}_{C}^{2}$=2aL
解得：v_C=$\sqrt{3}$m/s
設(shè)物塊離開(kāi)傳送帶后初速度為v_C0時(shí)恰好能落在F點(diǎn)，則有：
 H-h=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$
 x=v_C0t₁；
聯(lián)立解得：v_C0=2m/s
設(shè)物塊離開(kāi)傳送帶后初速度為v_C1時(shí)恰好能落在E點(diǎn)，則有：
 H=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$
 x=v_C1t₂；
聯(lián)立解得：v_C1=$\frac{4}{3}$m/s
因?yàn)?v_C1＜v_C＜v_C0，所以物塊落FE上．
設(shè)第一落點(diǎn)的位置到F點(diǎn)的距離為S，則有：
 x=v_Ct₃；
 H-h+S=$\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}$
解得：S=$\frac{1}{15}$m
（2）小物塊在恒力F作用下的加速度為：a₁=$\frac{F-μmg}{m}$=1m/s²．
在AB段撤去F后加速度大小 a₂=$\frac{μmg}{m}$=μg=1m/s²．
小物塊恰好能落在F點(diǎn)，剛滑上傳送帶時(shí)的速度為v．則有：
  s=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$+$\frac{{v}^{2}-（{a}_{1}t）^{2}}{-2{a}_{2}}$  …①
設(shè)物塊滑上傳送帶后恰好一直勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，在B的速度為v₁．恰好一直勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，在B的速度為v₂．
由于v_C0=v₀，所以要使物塊能落在F點(diǎn)，物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度必須等于v₀．
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：v₀²-v₁²=2aL，解得 v₁=1m/s
將v=v₁=1m/s代入①解得 t=$\sqrt{3.5}$s
又 v₀²-v₂²=-2aL
解得 v₂=$\sqrt{7}$m/s
將v=v₂=$\sqrt{7}$m/s代入①解得 t=$\sqrt{6}$s
將v=υ₀=2m/s代入①得 t=$\sqrt{6.5}$s
所以為保證小物塊恰好能落在F點(diǎn)，恒力F的作用時(shí)間t的范圍為：
  $\sqrt{3.5}$s≤t≤$\sqrt{6.5}$s
答：（1）小物塊離開(kāi)傳送帶后，第一落點(diǎn)的位置到F點(diǎn)的距離是$\frac{1}{15}$m；
（2）若A與傳送帶左端點(diǎn)B的距離為s=2.5m，為保證小物塊恰好能落在F點(diǎn)，恒力F的作用時(shí)間t的范圍是$\sqrt{3.5}$s≤t≤$\sqrt{6.5}$s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要正確分析小物塊的運(yùn)動(dòng)情況，把握隱含的臨界條件，邊計(jì)算邊分析，注意不能漏解．