Question

9．在某星球發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度為v，若以初速度v₀豎直向上拋出一小球，小球返回出發(fā)點(diǎn)的時(shí)間為t，求萬有引力常量G與該星球質(zhì)量M的乘積GM．

Answer 1

分析 小球在星球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$求出星球表面的重力加速度．物體在星球表面上時(shí)，由重力等于萬有引力．衛(wèi)星繞星球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬有引力提供向心力，由此列式，聯(lián)立求解．

解答 解：對(duì)人造衛(wèi)星，由由萬有引力提供向心力，得
  $\frac{GMm}{R^2}=\frac{{m{v^2}}}{R}$
在星球表面上，由重力等于萬有引力，得 $\frac{GMm}{R^2}=mg$
小球在星球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，有 $t=\frac{{2{v_0}}}{g}$
聯(lián)立解得  $GM=\frac{{{v^4}t}}{{2{v_0}}}$
答：萬有引力常量G與該星球質(zhì)量M的乘積GM為$\frac{{v}^{4}t}{2{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是衛(wèi)星類型的問題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由中心天體的萬有引力提供向心力．重力加速度g是聯(lián)系物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)的橋梁．