Question

6．如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系XOY，X軸的下方存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E=10V/m，Y軸左右兩邊分別存在如圖所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，B₁=B₂=1T．一質(zhì)量為m_A=0.1kg，電量為q=0.2C的帶正電小球A通過(guò)一根絕緣細(xì)線(xiàn)連接，細(xì)線(xiàn)另一端系于O點(diǎn)，絕緣細(xì)線(xiàn)l=1m，小球初始在圖中a點(diǎn)，現(xiàn)給其v₀=3$\sqrt{5}$m/s的豎直向下的速度使其作圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)時(shí)，與b點(diǎn)處一個(gè)不帶電的小球B相碰（B球未畫(huà)出），m_B=0.1kg，設(shè)兩球碰撞電量沒(méi)有損失，碰后兩球粘合在一起，速度變?yōu)榕銮暗囊话�，方向不變，且碰后瞬間剪斷細(xì)線(xiàn)，粘合體繼續(xù)運(yùn)動(dòng)．已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（1）A，B球碰前的瞬間細(xì)線(xiàn)的拉力．
（2）粘合體第一次達(dá)到最高點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）粘合體從b點(diǎn)開(kāi)始到第N次經(jīng)過(guò)X軸的時(shí)間，并畫(huà)出粘合體運(yùn)動(dòng)的軌跡．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理求出小球A到達(dá)b點(diǎn)的速度，在b點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律求出細(xì)線(xiàn)的拉力．
（2）兩球碰撞細(xì)線(xiàn)剪斷后在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)磁場(chǎng)后做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出上升的最大高度．
（3）應(yīng)用圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，應(yīng)用豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出做豎直上拋的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況作出粘合體的運(yùn)動(dòng)軌跡．

解答 解：（1）對(duì)A，從a到b過(guò)程，
由動(dòng)能定理得：m_Agl-qEl=$\frac{1}{2}$m_Av_A²-$\frac{1}{2}$m_Av₀²，
代入數(shù)據(jù)解得：v_A=5m/s，
在b點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
F+qE-m_Ag-qvB₁=m_A$\frac{{v}_{A}^{2}}{l}$，代入數(shù)據(jù)解得：F=2.5N；
（2）A、B碰撞后的速度：v=$\frac{1}{2}$v_A=2.5m/s，
碰撞后粘合體所受重力與電場(chǎng)力合力為零，
粘合體在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
經(jīng)過(guò)四分之一圓周后粘合體離開(kāi)電磁場(chǎng)，
粘合體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，上升的最大高度：
h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{2．{5}^{2}}{2×10}$=0.3125m，
粘合體在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=2.5m，
最高點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-2.5m，0.3125m）；
（3）粘合體在電磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：
T=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$=$\frac{2π×（0.1+0.1）}{0.2×1}$=2πs，
粘合體從b到第一次到達(dá)x軸的時(shí)間：t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2}$s，
粘合體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t_上拋=$\frac{2v}{g}$=$\frac{2×2.5}{10}$=0.5s，
粘合體返回電磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周后再次做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，如此循環(huán)，
粘合體在電磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)半個(gè)圓需要的時(shí)間：t′=$\frac{1}{2}$T=πs，
粘合體從b點(diǎn)開(kāi)始到第1次經(jīng)過(guò)X軸的時(shí)間：t₁=$\frac{π}{2}$s，
第二次經(jīng)過(guò)x軸的時(shí)間：t₂=t₁+t_上拋=（0.5+$\frac{π}{2}$）s，
第三次經(jīng)過(guò)x軸的時(shí)間：t₃=t₁+t_上拋+t′=（0.5+$\frac{π}{2}$+π）s，
第四次經(jīng)過(guò)x軸的時(shí)間：t₄=t₃+t_上拋=（1+$\frac{π}{2}$+π）s，
如果N為奇數(shù)，第N次通過(guò)x軸的時(shí)間：t=[$\frac{π}{2}$+$\frac{N-1}{2}$（π+0.5）]s，
如果N為偶數(shù)，第N次通過(guò)x軸的時(shí)間：t=[$\frac{π}{2}$+0.5+（$\frac{N}{2}$-1）（π+0.5）]s；
粘合體的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

答：（1）A，B球碰前的瞬間細(xì)線(xiàn)的拉力為2.5N．
（2）粘合體第一次達(dá)到最高點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-2.5m，0.3125m）．
（3）粘合體從b點(diǎn)開(kāi)始到第N次經(jīng)過(guò)X軸的時(shí)間為：[$\frac{π}{2}$+$\frac{N-1}{2}$（π+0.5）]s  N為奇數(shù)，[$\frac{π}{2}$+0.5+（$\frac{N}{2}$-1）（π+0.5）]s  N為偶數(shù)；粘合體運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了小球在混合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，本題難度較大，分析清楚小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的關(guān)鍵，分析清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程后，應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式即可解題；解題時(shí)注意數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用．