Question

7．如圖所示，M是水平放置的半徑足夠大的圓盤(pán)，繞過(guò)其圓心的豎直軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，規(guī)定經(jīng)過(guò)圓心O點(diǎn)且水平向右為x軸正方向．在O點(diǎn)正上方距盤(pán)面高為h=1.25m處有一個(gè)可間斷滴水的容器，從t=0時(shí)刻開(kāi)始，容器沿水平軌道向x軸正方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．已知t=0時(shí)刻滴下第一滴水，以后每當(dāng)前一滴水剛好落到盤(pán)面時(shí)再滴下一滴水．則：（取g=10m/s²）
（1）每一滴水離開(kāi)容器后經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間t滴落到盤(pán)面上？
（2）要使水滴在盤(pán)面上的落點(diǎn)位于同一直線上，圓盤(pán)的角速度ω₁至少該為多大？
（3）若圓盤(pán)的角速度為ω₂=4πrad/s，且容器的加速度a=2m/s²，第二滴水與第三滴水在盤(pán)面上落點(diǎn)間的距離d為多大？

Answer 1

分析 （1）離開(kāi)容器后，每一滴水在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，水滴運(yùn)動(dòng)的時(shí)間等于豎直方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由高度決定；
（2）要使每一滴水在盤(pán)面上的落點(diǎn)都位于同一直線上，則圓盤(pán)在t秒內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為kπ，k為不為零的正整數(shù)；
（3）通過(guò)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的公式求出兩個(gè)水滴在水平方向上的位移，再根據(jù)位移關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）水滴在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，有
h=$\frac{1}{2}g{{t}_{\;}}^{2}$
得t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}=0.5s$
（2）要使每一滴水在盤(pán)面上的落點(diǎn)都位于同一直線，則圓盤(pán)在0.5s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為kπ，k為不為零的正整數(shù)．
由ω₁t=kπ
即ω₁=$\frac{kπ}{0.5}$=2kπ，其中k=1，2，3，…
可知圓盤(pán)的角速度ω₁至少該為2π rad/s
（3）第二滴水離開(kāi)O點(diǎn)的距離為${x}_{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}+at•t=\frac{3}{8}a$
第三滴水離開(kāi)O點(diǎn)的距離為${x}_{3}=\frac{1}{2}a{（2t）}^{2}+a•2t•t=a$
又△θ=ωt=4π×0.5=2π
即第二滴水和第三滴水分別滴落在圓盤(pán)上O點(diǎn)的同一側(cè)，
所以：d=a-$\frac{3}{8}a$=$\frac{5}{8}$×2=1.25m；
答：（1）每一滴水離開(kāi)容器后經(jīng)過(guò)0.5s時(shí)間滴落到盤(pán)面上；
（2）要使每一滴水在盤(pán)面上的落點(diǎn)都位于同一直線上，圓盤(pán)的角速度ω₁至少該為2π rad/s
（3）若圓盤(pán)的角速度為ω₂=4πrad/s，且容器的加速度a=2m/s²，第二滴水與第三滴水在盤(pán)面上落點(diǎn)間的距離d為1.25m．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及到運(yùn)動(dòng)的合成與分解，圓周運(yùn)動(dòng)，勻變速直線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律，特別注意水滴離開(kāi)容器后做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．