Question

如圖裝置，AB段為傾角為37°的粗糙斜面，動摩擦因數(shù)μ₁為0.25，BC、CE段光滑，CD為一光滑的圓形軌道，半徑R=0.32m，物體在C點能順利進出圓形軌道而不損失機械能．EF為一逆時針勻速轉動的足夠長的傳送帶，動摩擦因數(shù)μ₂為0.2．現(xiàn)從AB面上距地面H處輕輕放上一質量m=1kg的小物塊（視為質點）．物塊經過CD軌道后滑向傳送帶．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）現(xiàn)將物體從H=2.7m處釋放，求①第一次經過B點時的速度大小，②第一次經過D點時軌道對物塊的壓力大�。�
（2）若傳送帶的速度為V=5m/s．物體仍從H=2.7m處釋放，試計算說明物體能否兩次通過最高點D？若能通過，請計算第二次通過最高點D點時軌道對物塊的壓力大�。�
（3）若傳送帶速度大小可在釋放物塊前預先調節(jié)．將物體從H=2.7m處釋放，從釋放到第二次進入圓軌道過程的過程中，試分析物塊和各接觸面摩擦至少要產生多少熱量才能保證物體能夠兩次到達D點？
（4）現(xiàn)將傳送帶速度調節(jié)至一足夠大速度值，將物體從AB某處釋放后，第10次進入圓軌道時仍不脫離圓軌道，試分析釋放物塊的高度有何要求？

Answer 1

分析：（1）物體由H處下落到達B端，由動能定理求解第一次經過B點時的速度大�。�運用動能定理求出物體到達D點時速度，由牛頓第二定律求解軌道對物塊的壓力大小．
（2）由動能定理求出物體若能通過D點在水平面處的最小速度．物體運動到由E運動到D點，運用動能定理求出物體通過D點的速度，再由牛頓第二定律求解第二次通過最高點D點時軌道對物塊的壓力．
（3）畫出物體滑上傳送帶后的速度圖象，求出物體相對傳送帶的位移，即可求得熱量．
（4）分上升和下滑兩個過程，由動能定理分析每次滑上滑下斜面后，動能變?yōu)樵瓉矶嗌俦�，求出第十次滑上D點時，從經過EC滑上圓軌道的速度最小值．再運用動能定理和臨界速度結合求解．

解答：解：（1）物體由H處下落到達B端，由動能定理：mgH-μmgcos37°?

H

sin37°

=

1

2

m

v

2 B

代入數(shù)據(jù)解得：v_B=6m/s
物體運動到由B運動到D點：-2mgR=

1

2

mvD2-

1

2

mvB2
D點有：N1+mg=m

vD2

R

得：N₁=62.5N
（2）物體若能通過D點在水平面處的最小速度為v₀，則由動能定理：-2mgR=

1

2

m(

gR

)2-

1

2

mv02
得：v₀=4m/s
物體上傳送帶時速度為6m/s，上傳送帶后先減速為0，再反向加速：5m/s＜6m/s，則反向時E的速度為5m/s．由5m/s＞4m/s，物體能夠到達D點．
物體運動到由E運動到D點：-2mgR=

1

2

mvD2-

1

2

mvE2
D點有：N2+mg=m

vD2

R

得：N₂=28.125N
（3）物體運動若要第二次到達D點，從傳送帶上返回E點時，速度至少為4m/s，則傳送帶的速度至少為4m/s．
物體滑上傳送帶后的運動圖象可由下圖表示

可知傳送帶速度越大兩者的相對位移越小．綜合以上分析傳送帶的速度為4m/s時，在傳送帶上放熱最少．而在斜面上運動時，摩擦放熱為定值．綜上所述：
在斜面上摩擦放熱：Q₁=μ₁mgcos37°?

h

sin37°

=9J
物體在傳送帶上運動：Q₂=μ₂mg△x=50J
則摩擦總共放熱：Q=Q₁+Q₂=59J
（4）若物體不脫離圓軌道形式有兩種：一種是全部通過D點，一種是物塊滑到CD的圓心高度以下．由圖（3）的圖象可知，由于傳動速度足夠大，則物體無論以什么樣的速度滑上傳送帶，返回的速度均為原來的速度，物體的機械能損失全部發(fā)生在斜面上．
一、物體十次全部能經過D點：
設某次物體從左端滑上斜面理速度為v_n，滑上又滑下后的速度為v_n+1．
由能量守恒得：
  上升過程：

1

2

m

v

2 n

=mgh+μmgcos37°?

h

sin37°

  下滑過程：

1

2

m

v

2 n+1

=mgh-μmgcos37°?

h

sin37°

得：

v 2 n

v 2 n+1

=

2

1

即每次滑上滑下斜面后，動能變?yōu)樵瓉淼?span id="zv9fxbf" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

2

，數(shù)列為等比數(shù)列．
第十次滑上D點時，從經過EC滑上圓軌道的速度至少為4m/s，第十次v102=16，則v12=16×24=256，即物體第一次沖上圓軌道的速度為16m/s．
此時由釋放點到B點動能定理：mgH₁-μmgcos37°?

H1

sin37°

=

1

2

m

v

2 B

得：H₁=19.2m
則釋放的最小高度為19.2m
二物體最高到達CD圓心高度，則由動能定理：mgH₂-μmgcos37°?

H2

sin37°

-mgR=0
得：H₂=0.24m
討論：下面討論物體是否存在能夠在一次經過D點，經過斜面滑上滑下后到達不了CD圓心高度．
由于通過最高點機械能至少為mg2R+

1

2

m(

gR

)2，經過一次滑上滑下斜面后，物體上圓軌道時機械能變?yōu)樵瓉硪话�，則

1

2

(mg2R+

1

2

m(

gR

)2)＞mgR．故不可能出現(xiàn)經過D點后下一次沖不到圓心高度的情況．
綜上所述：H∈（0，0.24m]∪[19.2m，+∞）
答：（1）①第一次經過B點時的速度大小是6m/s．②第一次經過D點時軌道對物塊的壓力大小為62.5N．
（2）第二次通過最高點D點時軌道對物塊的壓力大小是28.125N．
（3）物塊和各接觸面摩擦至少要產生59J熱量才能保證物體能夠兩次到達D點．
（4）釋放物塊的高度的要求為：H∈（0，0.24m]∪[19.2m，+∞）．

點評：此題要求熟練掌握動能定理、能量守恒定律、圓周運動等規(guī)律，包含知識點多，難度較大，關鍵要反復運用動能定理列式研究．