Question

18．“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星是在繞月極地軌道上運(yùn)動(dòng)的，加上月球的自轉(zhuǎn)，衛(wèi)星能探測(cè)到整個(gè)月球的表面．衛(wèi)星CCD相機(jī)已對(duì)月球背面進(jìn)行成像探測(cè)，并獲取了月球背面部分區(qū)域的影像圖．衛(wèi)星在繞月極地軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)距月球表面高為H，繞行的周期為T_M；月球繞地公轉(zhuǎn)的周期為T_E，半徑為R₀．地球半徑為R_E，月球半徑為R_M，忽略地球及太陽(yáng)引力對(duì)繞月衛(wèi)星的影響，月球與地球質(zhì)量之比為（$\frac{{T}_{E}}{{T}_{M}}$）²×（$\frac{{R}_{M}+H}{{R}_{0}}$）³．

Answer 1

分析 衛(wèi)星繞月做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由月球的萬(wàn)有引力提供向心力，知道距月球表面高為H，月球半徑為R_M，繞行的周期為T_M，根據(jù)由牛頓第二定律可求出月球的質(zhì)量．月球繞地球公轉(zhuǎn)時(shí)，由地球的萬(wàn)有引力提供向心力，由月球公轉(zhuǎn)的周期為T_E，半徑為R₀．地球半徑為R_E，根據(jù)由牛頓第二定律可求出地球的質(zhì)量．

解答 解：由牛頓第二定律得：F_向=ma_n=m（$\frac{2π}{T}$）²r；
萬(wàn)有引力定律公式為：F_引=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$；
月球繞地公轉(zhuǎn)時(shí)由萬(wàn)有引力提供向心力，故有：
G$\frac{{M}_{月}{M}_{地}}{{R}_{0}^{2}}$=M_月（$\frac{2π}{{T}_{E}}$）²R₀…①
同理，探月衛(wèi)星繞月運(yùn)動(dòng)時(shí)有：
G$\frac{{M}_{月}{M}_{衛(wèi)}}{（{R}_{M}+H）^{2}}$=M_衛(wèi)（$\frac{2π}{{T}_{M}}$）²（R_M+H）…②
由①②兩式聯(lián)立解得：
$\frac{{M}_{月}}{{M}_{地}}$=（$\frac{{T}_{E}}{{T}_{M}}$）²×（$\frac{{R}_{M}+H}{{R}_{0}}$）³
故答案為：（$\frac{{T}_{E}}{{T}_{M}}$）²×（$\frac{{R}_{M}+H}{{R}_{0}}$）³．

點(diǎn)評(píng) 本題是計(jì)算天體質(zhì)量問(wèn)題，利用萬(wàn)有引力與圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)的結(jié)合求解環(huán)繞天體的質(zhì)量，是常用方法之一．