Question

12．為了測量某行星的質(zhì)量和半徑，宇航員記錄了登陸艙在該行星表面附近做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，登陸艙在行星表面著陸后，用彈簧稱量一個(gè)質(zhì)量為m的砝碼讀數(shù)為N．已知引力常量為G．則下列計(jì)算中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． 該行星的質(zhì)量為$\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}$
• B． 該行星的半徑為$\frac{4{π}^{2}N{T}^{2}}{m}$
• C． 該行星的密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． 該行星的第一宇宙速度為$\frac{NT}{2πm}$

Answer 1

分析 登陸艙在該行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律列式；在星球表面，用彈簧稱稱量一個(gè)質(zhì)量為m的砝碼讀數(shù)為N，根據(jù)重力等于萬有引力列式；聯(lián)立求解出質(zhì)量和半徑；第一宇宙速度是星球表面軌道衛(wèi)星的環(huán)繞速度．

解答 解：A、登陸艙在該行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，故：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，①
在星球表面，用彈簧稱稱量一個(gè)質(zhì)量為m的砝碼讀數(shù)為N，故：
N=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$ ②
聯(lián)立解得：M=$\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}$，R=$\frac{N{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$，故A正確，B錯(cuò)誤．
C、行星的密度：ρ=$\frac{M}{V}=\frac{\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，故C正確．
D、第一宇宙速度是星球表面軌道衛(wèi)星的環(huán)繞速度，故v=$\frac{2πR}{T}=\frac{2π\(zhòng)frac{N{T}^{2}}{4{π}^{2}m}}{T}=\frac{NT}{2πm}$，故D正確．
本題選錯(cuò)誤的，故選：B．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于衛(wèi)星問題，關(guān)鍵值記住兩點(diǎn)：衛(wèi)星的萬有引力提供向心力；在星球表面，重力等于萬有引力．