Question

3．如圖所示，在xOy坐標(biāo)平面內(nèi)的第Ⅱ象限內(nèi)有半徑為R的圓分別與x軸、y軸相切于P、Q點(diǎn)，圓內(nèi)存在垂直xOy平面的勻強(qiáng)磁場．在第Ⅰ象限內(nèi)存在沿y軸方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E．一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從P點(diǎn)射入磁場后恰好垂直y軸進(jìn)入電場，最后從M（2R，0）點(diǎn)射出電場，出射方向與x軸夾角α滿足tanα=1.5．求：
（1）粒子進(jìn)入電場時(shí)的速率v₀；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（3）粒子從P點(diǎn)入射的方向與x軸負(fù)方向的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于電場進(jìn)入第一象限，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，由到達(dá)M的速度方向可利用速度的合成與分解得知該點(diǎn)y方向的速度．結(jié)合牛頓第二定律求得粒子的速率v₀；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式，求出粒子進(jìn)入電場時(shí)的位置，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)圖象中的幾何關(guān)系求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)半徑公式r=$\frac{mv}{qB}$求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（3）粒子在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，利用洛倫茲力提供向心力的公式，求出在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，利用幾何關(guān)系求θ．

解答 解：（1）在M處，粒子的y軸分速度
  v_y=2v₀tanα       
設(shè)粒子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，在x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)：
  2R=v₀t         
設(shè)y軸方向勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為a，由
 qE=ma；     
且v_y=at      
聯(lián)立解得：v₀=$\sqrt{\frac{4RqE}{3m}}$
（2）如圖所示，O₁為磁場圓的圓心，O₂為粒子軌跡圓的圓心，P′為粒子射出磁場的位置，依題意可知粒子垂直y軸進(jìn)入電場，則P′O₂∥PO₁，且P′O₁∥PO₁=R，O₂P=O₂P′，由幾何關(guān)系可知O₁P′O₂P為菱形，即粒子軌跡圓半徑等于R．
由向心力公式及牛頓第二定律：$Bq{v_0}=m\frac{v_0^2}{R}$；
聯(lián)立解得：B=$\sqrt{\frac{4Em}{3qR}}$
（3）粒子從N點(diǎn)進(jìn)入電場，由y軸方向勻加速直線運(yùn)動(dòng)公式有NO的長度y滿足
 v_y²=2a_y
聯(lián)立解得：y=1.5R；
由幾何關(guān)系：R+Rcosθ=y．解得：θ=60°  
答：
（1）粒子進(jìn)入電場時(shí)的速率v₀為$\sqrt{\frac{4RqE}{3m}}$．
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\sqrt{\frac{4Em}{3qR}}$；
（3）粒子從P點(diǎn)入射的方向與x軸負(fù)方向的夾角θ是60°．

點(diǎn)評 粒子在電場中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來解決問題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)，要正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問題．