Question

20．假設(shè)某顆離太陽較遠的行星繞太陽公轉(zhuǎn)的運動是勻速圓周運動，公轉(zhuǎn)的軌道半徑為r，公轉(zhuǎn)的周期為T，太陽的半徑為R，已知萬有引力常量為G，則太陽的平均密度為（　　）

• A． $\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$
• B． $\frac{{3π{R^3}}}{{G{T^2}{r^3}}}$
• C． $\frac{{3π{r^3}}}{{G{T^2}{R^3}}}$
• D． $\frac{3π}{{G{T^2}}}$

Answer 1

分析 行星繞太陽公轉(zhuǎn)時，由太陽的萬有引力提供向心力，據(jù)萬有引力定律和向心力公式列式，即可進行分析．

解答 解：設(shè)太陽的質(zhì)量為M，行星的質(zhì)量為m．行星繞太陽做圓周運動的向心力由太陽的萬有引力提供，則有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，
解得太陽質(zhì)量為：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
根據(jù)密度的公式有：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$，C正確，ABD錯誤
故選：C

點評 已知環(huán)繞天體的公轉(zhuǎn)半徑和周期，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式只能求出中心體的質(zhì)量．要求出行星的質(zhì)量，我們可以在行星周圍找一顆衛(wèi)星研究，即把行星當(dāng)成中心體．