Question

16．如圖所示，質(zhì)量為m的小物塊放在水平面上，細(xì)線一端與小物塊相連，另一端水平地緊繞在半徑為R，質(zhì)量為2m的薄壁圓筒上，t=0時(shí)刻，圓筒在電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)下由靜止開始繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)中角速度滿足ω=β₁t（β₁為已知常量），物塊和地面之間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．
（1）求t=t₁時(shí)刻圓筒邊緣的線速度大�。�
（2）從開始運(yùn)動(dòng)至t=t₁時(shí)刻，電動(dòng)機(jī)做了多少功？
（3）若圓筒角速度達(dá)到ω₀時(shí)，使其減速轉(zhuǎn)動(dòng)，并以此為t=0時(shí)刻，且角速度滿足ω=ω₀-β₂t（式中ω₀、β₂均為已知），則小物塊經(jīng)多長時(shí)間后停止運(yùn)動(dòng)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線速度與角速度間的關(guān)系求出線速度．
（2）求出物塊的位移，應(yīng)用動(dòng)能定理求出電動(dòng)機(jī)做的功．
（3）根據(jù)物塊的運(yùn)動(dòng)情況應(yīng)用速度公式求出時(shí)間．

解答 解：（1）線速度：v=ωR=β₁t₁R；
（2）物塊的前進(jìn)速度與圓筒邊緣的線速度大小相等，線速度：v=ωR=β₁tR，
物塊做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度：a=β₁R，
t₁時(shí)間內(nèi)物塊前進(jìn)的距離：s=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$β₁Rt₁²，
對(duì)系統(tǒng)，由動(dòng)能定理得：W_電-μmgs=$\frac{1}{2}$（2m）v²+$\frac{1}{2}$mv²，
電動(dòng)機(jī)做功：W_電=$\frac{1}{2}$μmgRβ₁t₁²+$\frac{3}{2}$mR²β₁²t₁²；
（3）圓筒減速后，邊緣線速度大小為：v=ωR=ω₀R-β₂tR，
線速度變化率為：a=β₂R，
若a≤μg，細(xì)線處于拉緊狀態(tài)，物塊與圓筒同時(shí)停止，
物塊減速時(shí)間：t=$\frac{{ω}_{0}R}{a}$=$\frac{{ω}_{0}}{{β}_{2}}$；
如果a≥μg，細(xì)線松弛，物塊在水平方向僅受摩擦力，
物塊減速時(shí)間：t=$\frac{{ω}_{0}R}{μg}$；
答：（1）t=t₁時(shí)刻圓筒邊緣的線速度大小為β₁t₁R；
（2）從開始運(yùn)動(dòng)至t=t₁時(shí)刻，電動(dòng)機(jī)做的功為$\frac{1}{2}$μmgRβ₁t₁²+$\frac{3}{2}$mR²β₁²t₁²；
（3）小物塊停止運(yùn)動(dòng)需要的時(shí)間為：$\frac{{ω}_{0}}{{β}_{2}}$或$\frac{{ω}_{0}R}{μg}$．

點(diǎn)評(píng) 本題提到了角加速度這個(gè)新的概念，關(guān)鍵是推導(dǎo)出滑塊的線速度公式進(jìn)行分析，將轉(zhuǎn)動(dòng)的研究轉(zhuǎn)化為平動(dòng)的研究進(jìn)行分析．