Question

3．如圖所示，光滑半圓軌道豎直放置，半徑為R，其底部與水平軌道相接，已知C點(diǎn)處切線水平．質(zhì)量為m的小球從水平軌道上O點(diǎn)（圖中未畫出），以水平速度$v=3\sqrt{gR}$開始運(yùn)動(dòng)，小球經(jīng)圓軌道到達(dá)C點(diǎn)后，繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到距C的水平距離為R的D點(diǎn)時(shí)，距水平軌道的高度為$h=\frac{3}{2}R$．不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)的速度大小為多少．
（2）小球從O到B的運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功．
（3）小球剛運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力大小．

Answer 1

分析 （1）小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由兩個(gè)分位移公式結(jié)合求解．
（2）小球從O到C的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求小球從O到B的運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功．
（3）小球從B到C的過程，由動(dòng)能定理求B點(diǎn)的速度，再由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求壓力．

解答 解：（1）小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則
  2R-h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  R=v_Ct
解得 v_C=$\sqrt{gR}$
（2）小球從O到C的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理得
-W_f-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 W_f=2mgR
（3）小球從B到C的過程，由動(dòng)能定理得
-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得
  F_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得 F_B=6mg
由牛頓第三定律可得，小球剛運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力大小 F_B′=F_B=6mg
答：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)的速度大小為$\sqrt{gR}$．
（2）小球從O到B的運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功是2mgR．
（3）小球剛運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力大小是6mg．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)能定理與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，動(dòng)能定理的優(yōu)點(diǎn)在于適用任何運(yùn)動(dòng)包括曲線運(yùn)動(dòng)．一個(gè)題目可能需要選擇不同的過程多次運(yùn)用動(dòng)能定理研究．