Question

18．如圖所示，矩形邊界efgh中有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場B=0.5T，ef長為l=0.3m，eh長為0.5m，一質(zhì)量m=8×10^-26kg、電荷量q=8×10^-39C的粒子（重力不計）從矩形邊界上某點(diǎn)以某個速度射入．粒子從ef中點(diǎn)O₁孔射出，再經(jīng)過小孔O₂進(jìn)入相互正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場區(qū)域，電場強(qiáng)度大小E=2×10⁵V/m，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₁=0.4T，方向如圖．虛線PQ、MN之間存在著水平向右的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂=0.25T（圖中未畫出）．有一塊折成等腰直角的硬質(zhì)塑料板abc（不帶電，寬度很窄，厚度不計）放置在PQ、MN之間（截面圖如圖），a，c兩點(diǎn)恰在分別位于PQ、MN上，ab=bc=0.3$\sqrt{2}$m，α=45°．粒子恰能沿圖中虛線O₂O₃進(jìn)入PQ、MN之間的區(qū)域．
（1）求粒子射入正交電磁場時的速度大�。�
（2）求粒子射入矩形邊界時的速度方向和射入點(diǎn)的位置；
（3）假設(shè)粒子與硬質(zhì)塑料板相碰后，速度大小不變，方向變化遵守光的反射定律，粒子在PQ、MN之間的區(qū)域中運(yùn)動的時間和路程分別是多少？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子射入正交電磁場后做勻速直線運(yùn)動，結(jié)合電場力與洛倫茲力的計算公式可求得粒子射入正交電磁場時速度的大小
（2）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，做出帶電粒子的運(yùn)動軌跡示意圖，結(jié)合幾何知識可求得射入矩形邊界時速度方向和射入點(diǎn)的位置
（3）結(jié)合題意做出粒子在PQ、MN之間運(yùn)動的軌跡，利用帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑、周期的計算公式結(jié)合幾何知識可求得時間和路程

解答 解：（1）結(jié)合受力分析可知射入正交電磁場的粒子做勻速直線運(yùn)動，即粒子所受合力為零，由Eq=qvB得：
${v}_{0}=\frac{E}{{B}_{1}}=5×1{0}^{5}m/s$…①
（2）設(shè)粒子在矩形efgh磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為R，軌跡如下圖所示，則有：

 $q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…②
由幾何關(guān)系可得：$R+Rcosθ=\frac{1}{2}l$…③
由②③解得：
        R=0.1m
         θ=60⁰
        粒子射入點(diǎn)位置在eh邊上距e點(diǎn)的距離x$x=Rsin6{0}^{0}=\frac{\sqrt{3}}{20}m$
射入速度的方向和eh邊成60⁰向左下方
（3）粒子從O₃以速度v₀進(jìn)入PQ、MN之間的區(qū)域，先做勻速直線運(yùn)動，打到ab板上，以大小為v₀的速度垂直于磁場方向運(yùn)動．粒子將以半徑R在垂直于磁場的平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動，轉(zhuǎn)動一周后打到ab板的下部．由于不計板的厚度，所以粒子從第一次打到ab板到第二次打到ab板后運(yùn)動的時間為粒子在磁場運(yùn)動一周的時間，即一個周期T．
由$qv{B}_{2}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$和運(yùn)動學(xué)公式$T=\frac{2πR}{{v}_{0}}$
得：$T=\frac{2πm}{q{B}_{2}}$
粒子在磁場中共碰到2塊板，做圓周運(yùn)動所需的時間為
t₁=2T
粒子進(jìn)入磁場中，在v₀方向的總位移s=2Lsin45°，時間為
${t}_{2}=\frac{s}{{v}_{0}}$
總時間為t=t₁+t₂=6.224×16^-6s
總路程為s=s₁+s₂=2Lsin45°+4πr₂
其中${r}_{2}=\frac{mv}{q{B}_{2}}$
代入計算得s=3.112m                   
答：
（1）求粒子射入正交電磁場時的速度大小為5×10⁵m/s
（2）粒子射入點(diǎn)位置在eh邊上距e點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{3}}{20}$m，射入速度的方向和eh邊成60⁰向左下方
（3）粒子在PQ、MN之間的區(qū)域中運(yùn)動的時間和路程分別為6.224×16^-6s、3.112m

點(diǎn)評 本題考查了帶電粒子在正交電磁場中的運(yùn)動和帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的勻速圓周運(yùn)動，做出正確的軌跡示意圖是前提，利用好幾何關(guān)系是關(guān)鍵