Question

（2012?海南）圖（a）所示的xoy平面處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與xoy平面（紙面）垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的周期為T，變化圖線如圖（b）所示．當(dāng)B為+B₀時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向指向紙外．在坐標(biāo)原點(diǎn)O有一帶正電的粒子P，其電荷量與質(zhì)量恰好等于

2π

TB0

．不計(jì)重力．設(shè)P在某時(shí)刻t₀以某一初速度沿y軸正向O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，將它經(jīng)過時(shí)間T到達(dá)的點(diǎn)記為A．
（1）若t₀=0，則直線OA與x軸的夾角是多少？
（2）若t₀=T/4，則直線OA與x軸的夾角是多少？
（3）為了使直線OA與x軸的夾角為π/4，在0＜t₀＜π/4的范圍內(nèi)，t₀應(yīng)取何值？

Answer 1

分析：（1）粒子在里面做圓周運(yùn)動(dòng)，由此可以得到粒子在一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而可知夾角
（2）粒子P在t0=

T

4

時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng)，在t=

T

4

到t=

T

2

時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)

1

4

個(gè)圓周，到達(dá)D點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)；繼而，在t=

T

2

到t=T時(shí)間內(nèi)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向再次反轉(zhuǎn)；在t=T到t=

5T

4

時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)

1

4

個(gè)圓周，到達(dá)A點(diǎn)，畫出圖，可得夾角
（3）若在任意時(shí)刻t=t₀（0＜t0＜

T

4

）粒子P開始運(yùn)動(dòng)，在t=t₀到t=

T

2

時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，圓心O′位于x軸上，圓弧OC對(duì)應(yīng)的圓心角為 ∠OO′C=

2π

T

(

T

2

-t0)    此時(shí)磁場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)；繼而，在t=

T

2

到t=T時(shí)間內(nèi)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向再次反轉(zhuǎn)；在t=T到t=T+t₀時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)A點(diǎn)，設(shè)圓O″，圓弧BA對(duì)應(yīng)的圓心角為∠BO″A=

2π

T

t0，畫出圖象，可得角度，進(jìn)而得到時(shí)間．

解答：解：
（1）設(shè)粒子P的質(zhì)量、電荷量與初速度分別為m、q與v，粒子P在洛侖茲力作用下，在xy平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，分別用R與T′表示圓周的半徑和運(yùn)動(dòng)周期，則有：
qvB0=mR

4π2

T′2

v=

2πR

T′

由①②式與已知條件得
T′=T
粒子P在t=0到t=

T

2

時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，到達(dá)x軸上B點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)；繼而，在t=

T

2

到t=T時(shí)間內(nèi)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，到達(dá)x軸上A，如圖（a）所示．

OA與x軸的夾角θ=0       ④
（2）粒子P在t0=

T

4

時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng)，在t=

T

4

到t=

T

2

時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)

1

4

個(gè)圓周，到達(dá)D點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)；繼而，在t=

T

2

到t=T時(shí)間內(nèi)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向再次反轉(zhuǎn)；在t=T到t=

5T

4

時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)

1

4

個(gè)圓周，到達(dá)A點(diǎn)，如圖（b）所示，

由幾何關(guān)系可知，A點(diǎn)在y軸上，即OA與x軸的夾角 θ=

π

2

  ⑤
（3）若在任意時(shí)刻t=t₀（0＜t0＜

T

4

）粒子P開始運(yùn)動(dòng)，在t=t₀到t=

T

2

時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，圓心O′位于x軸上，圓弧OC對(duì)應(yīng)的圓心角為
∠OO′C=

2π

T

(

T

2

-t0)    ⑥
此時(shí)磁場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)；繼而，在t=

T

2

到t=T時(shí)間內(nèi)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向再次反轉(zhuǎn)；在t=T到t=T+t₀時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)A點(diǎn)，設(shè)圓O″，圓弧BA對(duì)應(yīng)的圓心角為∠BO″A=

2π

T

t0      ⑦
如圖（c）所示，

由幾何關(guān)系可知，C、B均在O′O″連線上，且OA∥O′O″⑧
若要OA與x軸成

π

4

角，則有 ∠OO′C=

3π

4

   ⑨，聯(lián)立⑥⑨式可得
   t0=

T

8

             ⑩
答：
（1）若t₀=0，則直線OA與x軸的夾角是0
（2）若t₀=

T

4

，則直線OA與x軸的夾角是θ=

π

2

（3）為了使直線OA與x軸的夾角為

π

4

，在0＜t₀＜

π

4

的范圍內(nèi)，t₀應(yīng)取t0=

T

8

點(diǎn)評(píng)：本題是能力要求非常高的對(duì)帶電粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的分析，帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，一般都會(huì)牽涉軌跡分析，但很少會(huì)有這么多的軌跡分析，軌跡分析是非常重要的技能，可以用這個(gè)題來鍛煉自己對(duì)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡分析能力．