Question

9．天文工作者觀測(cè)某行星的半徑為R₁，自轉(zhuǎn)周期為T(mén)₁，它有一顆衛(wèi)星，軌道半徑為R₂，繞行星公轉(zhuǎn)周期為T(mén)₂．則
（1）該行星的平均密度為多大？
（2）要在此行星的赤道上發(fā)射一顆同步人造衛(wèi)星，使其軌道在赤道上方，則該人造衛(wèi)星的軌道半徑為多大？
（3）該行星的第一宇宙速度是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，可以列式求出行星的質(zhì)量M，進(jìn)一步求其密度；
（2）該行星的同步衛(wèi)星的周期與該行星的自轉(zhuǎn)周期相同，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力及速度與周期的關(guān)系式，以及第一問(wèn)中求出行星質(zhì)量M，化簡(jiǎn)可得該人造衛(wèi)星的軌道半徑．
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力及線速度的關(guān)系式計(jì)算行星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）設(shè)該行星的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，則對(duì)衛(wèi)星有：$G\frac{Mm}{R_2^2}=m{（\frac{2π}{T_2}）^2}{R_2}$
得行星的質(zhì)量為：$M=\frac{{4{π^2}R_2^3}}{GT_2^2}$
行星的體積為$V=\frac{4}{3}πR_1^3$
所以該行星的平均密度為$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3πR_2^3}{GT_2^2R_1^3}$
（2）設(shè)該衛(wèi)星的同步人造衛(wèi)星的軌道半徑為r，有$G\frac{Mm'}{r^2}=m'{（\frac{2π}{T_1}）^2}r$
解得該人造衛(wèi)星的軌道半徑$r=\root{3}{{\frac{T_1^2}{T_2^2}}}{R_2}$
（3）設(shè)該星球的第一宇宙速度為v，則
由$G\frac{Mm}{{R}_{1}{\;}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$    
解得  v=$\sqrt{G\frac{M}{{R}_{1}}}$
在根據(jù)行星的質(zhì)量為：$M=\frac{{4{π^2}R_2^3}}{GT_2^2}$
解得  v=$\frac{2π{R}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}\sqrt{\frac{{R}_{2}^{\;}}{{R}_{1}^{\;}}}$
答：（1）該行星的平均密度為$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}{R}_{1}^{3}}$；
（2）人造衛(wèi)星的軌道半徑為$\root{3}{\frac{{T}_{1}^{2}}{{T}_{2}^{2}}}{R}_{2}$；
（3）該行星的第一宇宙速度是$\frac{2π{R}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}\sqrt{\frac{{R}_{2}^{\;}}{{R}_{1}^{\;}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力、同步衛(wèi)星的條件：同步衛(wèi)星的周期等于行星的自轉(zhuǎn)周期，即可進(jìn)行求解．