Question

如圖所示，在xOy平面的第二象限有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)的方向沿+x軸方向；在y軸和第一象限的射線OC之間有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于紙面向外．有一質(zhì)量為m，帶有電荷量+q的質(zhì)點(diǎn)由x軸上的P點(diǎn)向平行于+y軸射人電場(chǎng)．質(zhì)點(diǎn)到達(dá)y軸上A點(diǎn)時(shí)，速度方向與y軸的夾角為φ=60°，A點(diǎn)與原點(diǎn)0的距離為d．接著，質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，并垂直于OC飛離磁場(chǎng)．不計(jì)重力影響．若OC與y軸的夾角為φ=60°，求：
（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)速度的大小v；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)P、A兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U_PA．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，由題意利用幾何關(guān)系找出圓心和半徑，再由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得速度；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，分別對(duì)水平和豎直方向分析利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解關(guān)系可得出電勢(shì)差．

解答：解：質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中的軌跡為圓弧．由于質(zhì)點(diǎn)飛離磁場(chǎng)時(shí)，速度垂直于OC，故圓弧的圓心在OC上，
依題意可知，質(zhì)點(diǎn)軌跡與y軸的交點(diǎn)為A，過A點(diǎn)作與A點(diǎn)的速度方向垂直的直線，與OC交于O′點(diǎn)．
由幾何關(guān)系可知，AO′垂直于OC，O′是圓弧的圓心．設(shè)圓弧的半徑為R，則有：
R=dsinφ
由洛侖茲力公式和牛頓第二定律可得：
Bqv=m

v2

R

聯(lián)立解得：v=

3 qBd

2m

；
（2）質(zhì)點(diǎn)在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)為類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)射入電場(chǎng)的速度為v₀，在電場(chǎng)中的加速度為a，時(shí)間為t，則有：
v₀=vcosφ
vsinφ=at
d=v₀t
設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，由牛頓第二定律可得；
Eq=ma
偏轉(zhuǎn)距離x=

1

2

at²；
勻強(qiáng)電場(chǎng)P、A兩點(diǎn)的電勢(shì)差U_PA=Ex
聯(lián)立以上可得：
U_PA=

9qB2d2

32m

；

點(diǎn)評(píng)：本題在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)因能知道初末速度，故也可采用動(dòng)能定理的求解；A點(diǎn)的速度與類平拋運(yùn)動(dòng)的合速度，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解可解得初速度，對(duì)P到A過程由動(dòng)能定理即可求得電勢(shì)差．