Question

11．如圖甲所示，粗糙斜面Q的傾斜角θ=30°，小物塊p恰好能沿斜面勻速下滑，現(xiàn)將斜面抬高，使斜面Q的傾斜角變?yōu)棣?37°，如圖乙所示，在Q右側(cè)施加向左的水平力（未畫出），使P和Q一起向左勻加速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，已知重力加速度為g，sin37°=0，cos37°=0.8．
（1）當(dāng)P和Q之間恰好無摩擦力時(shí)，求加速度的大�。�
（2）若改變?chǔ)�，�?dāng)加速度a=2g時(shí)，要使P和Q不發(fā)生相對滑動(dòng)，求β的最小值．（可以用β的三角函數(shù)表示）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)P和Q之間恰好沒有摩擦力時(shí)，P受重力和支持力兩個(gè)力作用，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度的大�。�
（2）加速度a=2g時(shí)，要使P和Q不發(fā)生相對滑動(dòng)，當(dāng)β有最小值時(shí)，受到沿斜面向下的最大靜摩擦力，運(yùn)用正交分析，抓住水平方向有合力，豎直方向上的合力為零，求出β的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)P和Q之間恰好無摩擦力時(shí)，P受重力和支持力兩個(gè)力作用，
根據(jù)牛頓第二定律得，mgtanβ=ma，
解得a=$gtanβ=10×\frac{3}{4}m/{s}^{2}=7.5m/{s}^{2}$．
（2）物塊開始能勻速下滑，有：mgsin30°=μmgcos30°，
則動(dòng)摩擦因數(shù)μ=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
加速度a=2g時(shí)，要使P和Q不發(fā)生相對滑動(dòng)，當(dāng)β有最小值時(shí)，受到沿斜面向下的最大靜摩擦力，
根據(jù)牛頓第二定律知，水平方向上有：Nsinβ+fcosβ=ma，
豎直方向上有：Ncosβ=fsinβ+mg，
f=μN(yùn)，
聯(lián)立解得$tanβ=\frac{2\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+2}$．
答：（1）當(dāng)P和Q之間恰好無摩擦力時(shí)，加速度的大小為7.5m/s²；
（2）β的最小值的正切值為$tanβ=\frac{2\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+2}$．

點(diǎn)評 本題考查了牛頓第二定律的臨界問題，知道恰好沒有摩擦力時(shí)，受重力和支持力作用；加速度a=2g時(shí)，要使P和Q不發(fā)生相對滑動(dòng)，當(dāng)β有最小值時(shí)，受到沿斜面向下的最大靜摩擦力，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，難度中等．