Question

（2007?佛山二模）如圖所示，在真空中，半徑為R=5L₀的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里．在磁場(chǎng)右側(cè)有一對(duì)平行金屬板M和N，兩板間距離為d=6L₀，板長(zhǎng)為L(zhǎng)=12L₀，板的中心線O₁O₂與磁場(chǎng)的圓心O在同一直線上．給M、N板加上電壓U₀，其變化情況如下圖所示．有一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶電的粒子，從M、N板右側(cè)沿板的中心線，在t=0或t=T/4時(shí)刻以速率v向左射入M、N之間，粒子在M、N板的左側(cè)剛好以平行于M、N板的速度射出．若上述粒子經(jīng)磁場(chǎng)后又均能平行于M、N極板返回電場(chǎng)，而電場(chǎng)變化的周期T未知，求磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B相應(yīng)必須滿足的條件．（不計(jì)粒子重力）

Answer 1

分析：根據(jù)牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，結(jié)合洛倫茲力提供向心力，可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式；再結(jié)合粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡與位移公式，從而即可求解．

解答：解：若要使從極板左端射入磁場(chǎng)的粒子又平行于極板返回電場(chǎng)，則它們?cè)诖艌?chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑r必須等于其在電場(chǎng)中垂直板方向上的位移y．即：r=y                
否則粒子運(yùn)動(dòng)的情況如圖，粒子射出磁場(chǎng)時(shí)其速度方向不再與中軸線O₁O₂平行．
對(duì)于t=0射入電場(chǎng)的粒子

側(cè)位移y=2N?

1

2

at2≤

d

2

           
運(yùn)動(dòng)時(shí)間，t=

T

2

             
由牛頓第二定律，則有a=

F

m

=

qU0

md

=

qU0

6mL0

    
則NT=

L

v

=

12L0

v

       
而qvB=

mv2

r

           
解得：B=

Nm2v3

6q2U0L0

  （N=1、2、3、…）      
其中 N≥

2qU0

mv2

   
對(duì)于t=

T

4

時(shí)刻射入電場(chǎng)的粒子

側(cè)位移y=2?

1

2

at2≤

d

2

，
t=

T

4

            
若粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是

T

2

的偶數(shù)倍，則粒子沿中軸線O₁O₂射出電場(chǎng)，通過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，不可能再平行于中軸線O₁O₂射出磁場(chǎng)返回電場(chǎng)．故粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間只能取

T

2

的奇數(shù)倍．

(2N+1)

2

T=

12L0

v

       
解得：B=

(2N+1)2m2v3

6q2U0L0

  （N=1、2、3、…）   
其中(2N+1)2≥

2qU0

mv2

即N≥

1

2

(

2qU0 mv2

-1)    
答：磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B相應(yīng)必須滿足的條件是N≥

1

2

(

2qU0 mv2

-1)．

點(diǎn)評(píng)：考查粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握處理類平拋運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，理解牛頓第二定律與幾何關(guān)系在題中的應(yīng)用．