Question

如圖，水平放置的傳送帶左側(cè)放置一個(gè)半徑為R的

1

4

圓弧光滑軌道，底端與傳送帶相切．傳送帶長(zhǎng)也為R．傳送帶右端接光滑的水平面，水平面上靜止放置一質(zhì)量為3m的小物塊B．一質(zhì)量為m的小物塊A從圓弧軌道頂端由靜止釋放，經(jīng)過(guò)傳送帶后與B發(fā)生碰撞，碰后A以碰前速率的一半反彈．A與B碰撞后馬上撤去圓弧軌道．已知物塊A與傳送帶的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，取重力加速度為g，傳送帶逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的速度的取值范圍為

1

4

gR

≤v≤2

gR

．

（1）求物塊A第一次經(jīng)過(guò)圓弧低端時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力大小；
（2）求物塊A與B碰撞后B的速度；
（3）討論一下傳送帶速度取不同值時(shí)，物塊A、B碰撞后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中傳送帶對(duì)物塊A做功的大�。�

Answer 1

分析：（1）物體A下滑的過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求出物塊A第一次經(jīng)過(guò)圓弧低端時(shí)的速度．經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對(duì)A的支持力，再由牛頓第三定律求得物塊對(duì)圓弧軌道的壓力大�。�
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出A與B碰撞前的速度．兩物碰撞過(guò)程，遵守動(dòng)量守恒定律，可列式求出碰后A的速度和B的速度．
（3）分情況進(jìn)行討論，運(yùn)用動(dòng)能定理求解碰撞后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中傳送帶對(duì)物塊A做功的大小．

解答：解：（1）A下滑過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：

1

2

mAv12-0=mAgR
在最低點(diǎn)時(shí)有牛頓第二定律有：F_N-m_Ag=

mAv21

R

解得：F_N=3m_Ag
據(jù)牛頓第三定律有：物塊A第一次經(jīng)過(guò)圓弧低端時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力大小是3m_Ag．
（2）A從傳送帶左端滑至右端，有

1

2

mAv22-

1

2

mAv12=-μmAgR
解得：v2=

gR

A與B發(fā)生碰撞，有m_Av₂+0=m_Av_A+m_Bv_B；
由題意知：vA=-

gR

2

解得B碰后的速度大小為vB=

gR

2

，方向水平向右．
（3）A碰后從傳送帶右端往左運(yùn)動(dòng)，傳送帶速度為

gR

4

≤v≤2

gR

．
①若傳送帶速度為v=

gR

2

，物塊A勻速運(yùn)動(dòng)，傳送帶對(duì)物塊做功為W=0；  
②當(dāng)傳送帶的速度為

gR

4

≤v＜

gR

2

時(shí)，物塊A滑上傳送帶后減速，
若物塊一直減速，則A的最后速度為v_A′，則有

1

2

mAvA′2-

1

2

mAvA2=-μmAgR
得：vA′2＜0，不符合題意．
因此物塊不能一直減速，只能先減速后與傳送帶達(dá)到共同速度v后勻速，
則傳送帶對(duì)A做功為W，有

1

2

mAv2-

1

2

mAvA2=W
解得：W=

1

2

mv2-

1

8

mgR（

gR

4

≤v＜

gR

2

）
③當(dāng)傳送帶的速度為

gR

2

＜v≤2

gR

時(shí)，物塊A滑上傳送帶后加速
若物塊能一直加速，則物塊最終的速度為v_A″則

1

2

mAvA′′2-

1

2

mAvA2=μmAgR
解得：vA″=

5gR

2

i：若傳送帶的速度

5gR

2

＜v≤2

gR

時(shí)，物塊一直加速度，不會(huì)有共速，摩擦力一直存在，則傳送帶摩擦力做的功為 W=μm_AgR=0.5mgR；
ii：若傳送帶的速度

gR

2

＜v≤

5gR

2

時(shí)，物塊A先加速，后與傳送帶達(dá)到共同速度，即A的末速度為傳送帶的速度v，由動(dòng)能定理得：
 

1

2

mAv2-

1

2

mAvA2=W，即 W=

1

2

mv2-

1

8

mgR（

gR

2

＜v≤

5gR

2

）              
綜上所述，A碰后，傳送帶對(duì)物塊A做的功為：
  W=

1 2 mv2- 1 8 mgR ( gR 4 ≤v＜ gR 2 ) 0   (v= gR 2 ) 1 2 mv2- 1 8 mgR ( gR 2 ＜v＜ 5gR 2 0.5mgR ( 5gR 2 ≤v＜2 gR )

答：
（1）物塊A第一次經(jīng)過(guò)圓弧低端時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力大小是3m_Ag；
（2）物塊A與B碰撞后B的速度是

gR

2

，方向水平向右．
（3）物塊A、B碰撞后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中傳送帶對(duì)物塊A做功的大小為：
 W=

1 2 mv2- 1 8 mgR ( gR 4 ≤v＜ gR 2 ) 0   (v= gR 2 ) 1 2 mv2- 1 8 mgR ( gR 2 ＜v＜ 5gR 2 0.5mgR ( 5gR 2 ≤v＜2 gR )

．

點(diǎn)評(píng)：弄清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和受力情況是解題關(guān)鍵，并把握住每個(gè)過(guò)程的規(guī)律：①物塊沿光滑圓弧下滑的過(guò)程，機(jī)械能守恒；②物塊在傳送帶上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)．③碰撞過(guò)程遵守動(dòng)量守恒定律．