Question

【題目】如圖所示，在國(guó)慶70周年聯(lián)歡活動(dòng)上有精彩的煙花表演，通過(guò)高空、中空、低空煙花燃放和特殊煙花裝置表演，分波次、多新意地展現(xiàn)煙花藝術(shù)的魅力。某同學(xué)注意到，很多煙花炸開(kāi)后，形成漂亮的禮花球，一邊擴(kuò)大，一邊下落。假設(shè)某種型號(hào)的禮花彈從專用炮筒中沿豎直方向射出，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)炸開(kāi)。已知禮花彈從炮筒射出的速度為v0，忽略空氣阻力。

（1）求禮花彈從專用炮筒中射出后，上升的最大高度h；

（2）禮花彈在最高點(diǎn)炸開(kāi)后，其中一小塊水平向右飛出，以最高點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，建立坐標(biāo)系，請(qǐng)通過(guò)分析說(shuō)明它的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線。

（3）若（2）中小塊水平向右飛出的同時(shí)，坐標(biāo)系做自由落體運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)分析說(shuō)明該小塊相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。

（4）假設(shè)禮花彈在最高點(diǎn)炸開(kāi)后產(chǎn)生大量的小塊，每個(gè)小塊拋出的速度v大小相等，方向不同，有的向上減速運(yùn)動(dòng)，有的向下加速運(yùn)動(dòng)，有的做平拋運(yùn)動(dòng)，有的做斜拋運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)論證說(shuō)明禮花彈炸開(kāi)后所產(chǎn)生的大量小塊會(huì)形成一個(gè)隨時(shí)間不斷擴(kuò)大的球面。

Answer 1

【答案】（1）（2）是一條拋物線方程（3）勻速直線運(yùn)動(dòng)（4）具體見(jiàn)解析

【解析】

(1)忽略空氣阻力，禮花彈上升過(guò)程機(jī)械能守恒

得

(2)以最高點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，建立坐標(biāo)系，小塊平拋運(yùn)動(dòng)

解得

是一條拋物線方程。

(3)該小塊相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

(4)設(shè)某小塊的拋出速度為v，與水平方向夾角為θ，將v沿水平方向（x軸）和豎直方向（y軸，向下為正方向）正交分解。由拋體運(yùn)動(dòng)的研究可知質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)為

x＝vcos θ ·t

y＝v sin θ ·t+gt2

聯(lián)立以上兩式，消去θ即得

x2＋(y－gt2)2＝ (vt)2

這是一個(gè)以（0，gt2）坐標(biāo)為圓心、以vt為半徑的圓的方程式。可見(jiàn)，只要初速度v相同，無(wú)論初速度方向怎樣，各發(fā)光質(zhì)點(diǎn)均落在一個(gè)圓上（在空間形成一個(gè)球面，其球心在不斷下降，“禮花”球一面擴(kuò)大，一面下落），如圖所示。

本題也可用運(yùn)動(dòng)合成和分解的知識(shí)解釋如下：禮花炮爆炸后，每個(gè)發(fā)光質(zhì)點(diǎn)的拋出速度v大小相同，方向各異，都可以分解為沿原速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和只在重力作用下的自由落體運(yùn)動(dòng)（這里忽略空氣阻力，如果受到空氣阻力或風(fēng)的影響，那么，“禮花”就不會(huì)形成球面形狀了）。很明顯，前一分運(yùn)動(dòng)使各發(fā)光質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻構(gòu)成一個(gè)圓，后一個(gè)分運(yùn)動(dòng)都相同，所以觀察者看到的是一個(gè)五彩繽紛的“禮花”球一面擴(kuò)大、一面下落。