Question

如圖所示，在xOy平面內(nèi)，一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子（重力不計(jì)）以速度v₀從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿與+x方向成θ角射人第一象限區(qū)，并從x軸上A的點(diǎn)離開(kāi)第一象限區(qū)．
（1）若在xOy平面存在一點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)，帶電粒子q在電場(chǎng)力作用下沿圓弧勻速率從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，已知OA間的距離為a，θ=30°，求O點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小．
（2）若只存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，已知磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，求帶電粒子飛離y軸的最遠(yuǎn)距離．
（3）若只在第一象限內(nèi)存在垂直于xOy平面的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，已知OA間的距離仍為a，且θ=45°，求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值B₀．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)幾何關(guān)系可知帶電粒子運(yùn)動(dòng)圓弧的半徑然后根據(jù)庫(kù)侖力提供向心力求出庫(kù)侖力，再求解電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出軌跡后根據(jù)幾何關(guān)系可以求解最遠(yuǎn)距離；
（3）磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度越小，粒子回旋半徑越大，則磁場(chǎng)區(qū)半徑越大，當(dāng)磁場(chǎng)區(qū)圓邊界與xy軸相切，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度最�。�

解答：解：（1）粒子在電場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由電場(chǎng)力提供向心力，有qE=m

v 2 0

r1

由幾何關(guān)系可知，帶電粒子運(yùn)動(dòng)的半徑r₁=a
解得  E=

m v 2 0

aq

即O點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為

m v 2 0

aq

．
（2）粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示

洛倫茲力提供向心力，有
qv0B=m

v 2 0

r   2

解得  r2=

mv0

qB

P點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離最遠(yuǎn)：x_m=r2(1+sinθ)=

3mv0

2Bq

即帶電粒子飛離y軸的最遠(yuǎn)距離為

3mv0

2Bq

．
（3）如圖所示，圓形磁場(chǎng)區(qū)只限于第一象限內(nèi)，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度越小，粒子回旋半徑越大，則磁場(chǎng)區(qū)半徑越大，當(dāng)磁場(chǎng)區(qū)圓邊界與xy軸相切，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，設(shè)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)半徑為r₃，
則  r3=

a

2

qv0B0=m

v 2 0

r3

解得 
 B0=

2mv0

aq

即磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值B₀為

2mv0

aq

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．