Question

4．如圖所示，一質(zhì)量為M的半圓形槽內(nèi)壁光滑，放在光滑的水平面上，槽的左側(cè)有一固定的木樁以阻止槽水平向左運(yùn)動(dòng)，槽的半徑為R．今從槽左側(cè)A端的正上方D處自由釋放一個(gè)質(zhì)量為m的小球，球恰從A點(diǎn)自然進(jìn)入槽的內(nèi)壁軌道．為了使小球和沿槽的內(nèi)壁恰好運(yùn)動(dòng)到槽的右端B點(diǎn)，試求D點(diǎn)至A點(diǎn)的高度．

Answer 1

分析 小球從D點(diǎn)至O′點(diǎn)的過程中，半圓形槽由于木樁的阻止，半圓槽靜止不動(dòng)．對于小球，只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒，求出小球到達(dá)半圓槽的最低點(diǎn)O′的速度．當(dāng)小球從半圓槽的最低點(diǎn)O′運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中，半圓槽由于小球的壓力作用離開木樁，以半圓槽和小球組成的系統(tǒng)為研究對象，水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，根據(jù)兩大守恒列出方程，聯(lián)立求解D點(diǎn)到A點(diǎn)的高度h．

解答 解：設(shè)D點(diǎn)至A點(diǎn)的高度為h．小球從D處開始運(yùn)動(dòng)至B端的過程，可分為兩個(gè)階段：
第一階段：小球從D點(diǎn)自由下落經(jīng)A點(diǎn)至最低點(diǎn)O′，設(shè)小球經(jīng)過O′的速度大小為v₁．由于只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒，則得：
  mg（h+R）=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$…①
第二階段：小球從O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，此時(shí)小球和槽有共同速度v₂，對槽和小球系統(tǒng)而言，只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，可得：
  mgR+$\frac{1}{2}$（m+M）${v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$…②
該階段，系統(tǒng)在水平方向不受外力，水平方向動(dòng)量守恒，取水平方向向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
  mv₁=（m+M）v₂ …③
聯(lián)立以上三式，解得：h=$\frac{M}{m}$R
答：D點(diǎn)到A點(diǎn)的高度為為$\frac{M}{m}$R．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是分析物理過程，尋找解題規(guī)律是關(guān)鍵．要知道小球從最低點(diǎn)O′上升的過程，系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒，但總的動(dòng)量并不守恒．